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考纲要点

1. 不确定度的基本转换​

绝对 → 分数/百分比​

  • Fractional uncertainty: Δxx\frac{\Delta x}{x}
  • Percentage uncertainty: Δxx×100%\frac{\Delta x}{x} \times 100\%

分数/百分比 → 绝对​

  • Δx=percentage100×x\Delta x = \frac{\text{percentage}}{100} \times x

2. 表格中的不确定度​

要求​

每个 derived quantity 必须在表格中列出对应的 absolute uncertainty

常见派生量公式​

派生量 YYΔY\Delta Y 公式
ln⁡x\ln xΔxx\frac{\Delta x}{x}
lg⁡x\lg xΔxxln⁡10≈0.434Δxx\frac{\Delta x}{x \ln 10} \approx 0.434\frac{\Delta x}{x}
1/x1/xΔxx2\frac{\Delta x}{x^2}
1/x1/\sqrt{x}Δx2x3/2\frac{\Delta x}{2x^{3/2}}
xnx^nnxn−1Δxn x^{n-1} \Delta x

3. 梯度不确定度​

方法​

  1. 画 best fit line（最佳拟合直线）
  2. 画 worst acceptable line（最差可接受直线 — 通过所有 error bars 的最陡/最缓线）
  3. Δgradient=∣gradientbest−gradientworst∣\Delta \text{gradient} = |\text{gradient}_{\text{best}} - \text{gradient}_{\text{worst}}|

大三角形法​

用坐标轴上的两个远端点计算 gradient，保证三角形尽可能大（> 一半图幅）。

4. y-intercept 不确定度​

方法​

  1. best fit line 的 y-intercept
  2. worst acceptable line 的 y-intercept
  3. Δintercept=∣interceptbest−interceptworst∣\Delta \text{intercept} = |\text{intercept}_{\text{best}} - \text{intercept}_{\text{worst}}|

5. 组合不确定度​

运算误差传播
Z=A+BZ = A + BΔZ=ΔA+ΔB\Delta Z = \Delta A + \Delta B
Z=A−BZ = A - BΔZ=ΔA+ΔB\Delta Z = \Delta A + \Delta B
Z=A×BZ = A \times BΔZZ=ΔAA+ΔBB\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}
Z=A/BZ = A / BΔZZ=ΔAA+ΔBB\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}
Z=AnZ = A^nΔZZ=nΔAA\frac{\Delta Z}{Z} = n \frac{\Delta A}{A}

6. 表达最终结果​

格式: value±uncertainty\text{value} \pm \text{uncertainty}（带单位）

  • uncertainty 一般给 1 位有效数字
  • value 的小数位数与 uncertainty 对齐