方法框架

Overview

Paper 5 的不确定度计算分布在 Q1（实验设计）和 Q2（数据分析和结论）中。Q2 通常包含 3-4 个不确定度相关得分点。

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Method 1: Uncertainty in $\ln x$

推导

$\Delta(\ln x) = \frac{d(\ln x)}{dx} \Delta x = \frac{1}{x} \Delta x$

应用场景

Table 中需要计算 $\ln(x)$ 时。

例子：测量电压 $V$，计算 $\ln(V/\text{V})$。

• $V = 6.2$ V, $\Delta V = 0.2$ V
• $\ln(6.2) = 1.825$
• $\Delta(\ln V) = 0.2 / 6.2 = 0.0323$
• 结果: $1.825 \pm 0.032$

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Method 2: Uncertainty in $\lg x$

推导

$\Delta(\lg x) = \frac{d(\lg x)}{dx} \Delta x = \frac{\Delta x}{x \ln 10} \approx 0.434 \frac{\Delta x}{x}$

应用场景

Table 中需要计算 $\lg(x)$ 时。

例子：测量质量 $M$，计算 $\lg(M/10^{30})$。

• $M = 2.5 \times 10^{30}$ kg, $\Delta M = 0.1 \times 10^{30}$ kg
• $\lg(2.5) = 0.398$
• $\Delta(\lg M) = 0.434 \times (0.1/2.5) = 0.0174$
• 结果: $0.398 \pm 0.017$

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Method 3: Uncertainty in $1/x$

推导

$\Delta(1/x) = \frac{d(1/x)}{dx} \Delta x = \frac{\Delta x}{x^2}$

应用场景

Table 中需要计算 $1/x$ 或 $1/\sqrt{x}$ 时。

例子：测量距离 $d$，计算 $1/d$。

• $d = 0.200$ m, $\Delta d = 0.002$ m
• $1/d = 5.000$ m$^{-1}$
• $\Delta(1/d) = 0.002 / (0.200)^2 = 0.050$
• 结果: $5.00 \pm 0.05$ m$^{-1}$

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Method 4: Gradient Uncertainty (Best–Worst)

步骤

1. 画 best fit line（直线通过数据点的"中心"）
2. 画 worst acceptable line
   • 所有 error bars 都必须被这条线穿过
   • 通常是最陡或最缓的合理直线
3. $\Delta \text{gradient} = |\text{gradient}_{\text{best}} - \text{gradient}_{\text{worst}}|$

大三角形法

• 在 best fit line 上选两个远端点
• 两点在 x 轴上的距离要 > 图中 x 范围的一半
• gradient = $\Delta y / \Delta x$
• worst line 也用同样方法

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Method 5: y-intercept Uncertainty

步骤

1. 从 best fit line 读出 y-intercept（或延长线与 y 轴交点）
2. 从 worst acceptable line 读出 y-intercept
3. $\Delta \text{intercept} = |\text{intercept}_{\text{best}} - \text{intercept}_{\text{worst}}|$

技巧

如果 x 轴不从 0 开始，需要延长 best/worst line 到 x = 0 处读取 y-intercept。

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Method 6: Percentage Uncertainty

$$\text{Percentage uncertainty} = \frac{\Delta x}{x} \times 100\%$$

组合百分比不确定度

运算	组合方式
加减	绝对不确定度相加
乘除	百分比不确定度相加
幂次	百分比不确定度 $\times$ 指数

典型应用

从 gradient 和已知 constant 求最终常数的百分比不确定度：

$$\frac{\Delta C}{C} = \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \text{gradient}}{\text{gradient}}$$