详细策略

Q1 实验设计策略

1. Defining the Problem（约 2 分钟，2 分）

Key

M1 — 明确写出自变量和因变量。

A1 — 写出至少两个控制变量。

• Independent variable（自变量）: 你要改变的量。写出具体名称，并说明如何改变它。
• Dependent variable（因变量）: 你要测量的量。写出具体名称，并说明用什么仪器测量。
• Control variables（控制变量）: 需要保持恒定的量。至少列出 $2$ 个，并简要说明如何保持恒定。

例句:

The independent variable is the length $L$ of the pendulum，which will be varied by using different lengths of string.

The dependent variable is the period $T$ of oscillation，which will be measured using a stopwatch.

The control variables are the mass of the bob (kept constant by using the same bob) and the amplitude of swing (kept small and constant).

2. Methods of Data Collection（约 15 分钟，5 分）

Key

M1 — 画出清晰标注的装置图。

A1 — 描述实验步骤（改变 $IV$、测量 $DV$、保持 $CV$ 恒定）。

B1 — 说明测量范围和间隔。

装置图要点

• 画出所有主要仪器
• 标注所有关键部件
• 显示 $IV$ 如何改变
• 显示 $DV$ 如何测量
• 可以使用简单线条，但要清晰

步骤描述

1. 改变 $IV$: 明确描述每一步如何改变自变量。例如："Vary the length $L$ by using strings of different lengths from $0.20\ \text{m}$ to $1.00\ \text{m}$ in increments of $0.10\ \text{m}$."
2. 测量 $DV$: 具体描述测量方法。例如："Measure the time for $20$ oscillations using a stopwatch，then divide by $20$ to get the period $T$."
3. 保持 $CV$ 恒定:
   • 确保每次只改变一个变量
   • 例如："Use the same metal bob throughout to keep the mass constant."
   • "Ensure the amplitude is small (\theta < 10^\circ) to maintain small-angle approximation."

测量仪器参考

物理量	仪器	精度
长度	metre ruler / micrometer / vernier callipers	$\pm 0.001\ \text{m}$ / $\pm 0.0001\ \text{m}$
时间	stopwatch / timer	$\pm 0.01\ \text{s}$ / $\pm 0.1\ \text{s}$
质量	digital balance	$\pm 0.001\ \text{g}$
温度	thermometer / thermocouple	$\pm 0.1^\circ\text{C}$
电流/电压	ammeter / voltmeter / multimeter	$\pm 0.01\ \text{A}$ / $\pm 0.01\ \text{V}$
力	newton meter / force sensor	$\pm 0.01\ \text{N}$
角度	protractor	$\pm 0.5^\circ$

3. Method of Analysis（约 5 分钟，3 分）

Key

M1 — 说明要画什么图像。

A1 — 说明直线证明关系。

B1 — 给出用梯度/截距计算常数的公式。

写法模板:

A graph of $T^2$ against $L$ is plotted. If the relationship $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ holds，the graph will be a straight line through the origin. The gradient of the line will be $\frac{4\pi^2}{g}$，so $g = \frac{4\pi^2}{\text{gradient}}$.

或者：

A graph of $\ln V$ against $t$ is plotted. If $V = V_0 e^{-t/\tau}$，the graph will be a straight line. The gradient will be $-\frac{1}{\tau}$，so $\tau = -\frac{1}{\text{gradient}}$. The $y$-intercept will be $\ln V_0$.

4. Additional Detail & Safety（约 10 分钟，5 分）

Key

M1 — 重复测量。

A1 — 数据范围。

B1 — 安全措施。

重复测量

Repeat each reading at least twice (or three times) and calculate the mean value of the dependent variable to reduce random errors and identify anomalous readings.

数据范围

Take readings at $5$-$6$ different values of the independent variable，covering as wide a range as possible to minimize percentage uncertainty.

安全措施

根据实验场景选择适当的安全措施：

场景	安全措施
电路	"Switch off between readings to prevent overheating."
光学实验	"Do not look directly into the laser beam."
悬挂重物	"Wear safety goggles / secure clamp to prevent falling."
加热	"Use a heat-proof mat and tongs / keep flammable materials away."
液体	"Wipe up spills immediately."

额外确定常数的步骤

如果题目要求确定一个常数，除了主要测量外，可能还需要测量其他量：

Also measure the diameter $d$ of the wire using a micrometer to calculate the cross-sectional area $A = \pi d^2/4$.

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Q2 数据分析策略

Part (a): 线性化表达式（约 3 分钟，1 分）

Key

M1 — 正确写出线性化后的斜率和截距表达式。

步骤:

1. 从题目给出的公式出发
2. 将其变形为 $y = mx + c$ 的形式
3. 确定 $x$ 轴和 $y$ 轴各放什么量
4. 写出梯度 $m$ 和截距 $c$ 对应什么

示例:

题目给出 $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$，要求验证 $T \propto \sqrt{l}$。

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \implies T^2 = \frac{4\pi^2}{g} l$

Plot $T^2$ on $y$-axis against $l$ on $x$-axis.

Gradient $m = \frac{4\pi^2}{g}$，so $g = \frac{4\pi^2}{m}$.

$y$-intercept $c = 0$ (through origin).

Part (b): 表格计算（约 5 分钟，2 分）

Key

M1 — 正确计算衍生量。

A1 — 正确计算不确定度。

衍生量计算

根据 Part (a) 的结论，计算所需的衍生量，如 $\lg x$、$\ln y$、$1/x$、$x^2$、$\sqrt{x}$ 等。

不确定度传播

原始量	衍生量	不确定度
$x \pm \Delta x$	$\ln x$	$\displaystyle \Delta(\ln x) = \frac{\Delta x}{x}$
$x \pm \Delta x$	$1/x$	$\displaystyle \Delta(1/x) = \frac{\Delta x}{x^2}$
$x \pm \Delta x$	$x^2$	$\displaystyle \Delta(x^2) = 2x \cdot \Delta x$
$x \pm \Delta x$	$\sqrt{x}$	$\displaystyle \Delta(\sqrt{x}) = \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}$
$x \pm \Delta x$	$\lg x$	$\displaystyle \Delta(\lg x) = \frac{\Delta x}{x \ln 10}$

有效数字

不确定度一般保留 $1$ 位有效数字，衍生量与不确定度对齐小数位数。

Part (c): 图表（约 15 分钟，6 分）

Key

M1 — 正确描点。

A1 — 合理画误差棒。

B1 — 最佳拟合线和最差线。

Gradient 计算和不确定度。

描点

• 用 $\times$ 标记数据点
• 精确到半小格以内
• 选择合适的坐标轴比例，使数据点大致占据图纸的 $50\%$ 以上

误差棒（Error Bars）

• 对称误差棒
• 长度 = $2 \times$ 不确定度
• 如果两个变量都有不确定度，两端都需要误差棒

最佳拟合线（Best Fit Line）

• 直线应穿过所有误差棒
• 数据点大致均匀分布在直线两侧（不要强行通过所有点）
• 用透明直尺画线

最差线（Worst Acceptable Line）

• 在最佳线的基础上旋转，直到触碰到误差棒的边界
• 有两种可能：最陡（steepest）和最缓（shallowest），选择偏差更大的那个

梯度计算

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

• 在线上选取两个点，相距 > 线段长度的一半
• 用三角形标记所选点
• 标出 $\Delta y$ 和 $\Delta x$

梯度不确定度

$\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$

对最佳线和最差线分别计算梯度，取差值绝对值。

$y$ 截距

从公式 $y = mx + c$ 推导，不要直接从图线读取：

$c = y_1 - m x_1$

其中 $(x_1, y_1)$ 为线上任一点。

Part (d): 计算常数（约 6 分钟，4 分）

Key

M1 — 正确代入梯度/截距。

A1 — 正确写出单位和不确定度。

使用 Part (a) 的表达式，将 Part (c) 得到的梯度/截距代入。

示例:

$g = \frac{4\pi^2}{m} = \frac{4\pi^2}{4.02} = 9.82\ \text{m s}^{-2}$

不确定度传播：

$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta m}{m} \implies \Delta g = g \times \frac{\Delta m}{m}$

最终结果：

$g = 9.82 \pm 0.05\ \text{m s}^{-2}$

Part (e): 拓展部分（约 3 分钟，2 分）

使用你的常数和给定的方程，完成题目要求的额外计算。通常是用公式计算新的物理量，或者估计某个值。

技巧: 有时这一问会要求你使用与 Part (d) 不同的常数表达式（如使用 $y$ 截距而非梯度），注意读题。