Oscillations — 考前速记

核心公式

$a = -\omega^2 x \quad \text{(defining equation of SHM)}$

$x = x_0 \sin \omega t$

$v = v_0 \cos \omega t = \pm \omega \sqrt{x_0^2 - x^2}$

$v_0 = \omega x_0, \quad a_0 = \omega^2 x_0$

$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$

$E = \frac{1}{2} m \omega^2 x_0^2 = \frac{1}{2} m v_0^2$

图形关系

图	形状	关键点
$x$-$t$	正弦/余弦	$x_0$ = 振幅
$v$-$t$	余弦（领先 $x$ 为 $\pi/2$）	$v_0 = \omega x_0$
$a$-$t$	负正弦（与 $x$ 反相）	$a_0 = \omega^2 x_0$
$v$-$x$	椭圆	截距 $v_0$, $x_0$

能量

$E_K = \frac{1}{2} m \omega^2 (x_0^2 - x^2)$

$E_P = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$

$E_{\text{total}} = E_K + E_P = \frac{1}{2} m \omega^2 x_0^2$

考前 checklist

• SHM 定义：$a \propto -x$（加速度正比于位移，方向相反）
• 振幅 = 总行程 / 2
• $\omega = 2\pi f$
• 平衡位置：$v$ 最大，$a = 0$
• 极端位置：$v = 0$，$a$ 最大
• $v$-$x$ 图是椭圆
• 总能量 $\propto x_0^2$
• 轻阻尼：振幅指数衰减
• 临界阻尼：最快回到平衡
• 共振：驱动频率 = 自然频率

关键句

Simple harmonic motion: acceleration proportional to displacement and in opposite direction to displacement.

Total energy of SHM: $E = \frac{1}{2} m \omega^2 x_0^2$, constant.