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解题方法 — Ideal Gases

Method 1: 理想气体状态方程 (pV=nRTpV = nRT 或 pV=NkTpV = NkT)​

When to use​

已知 pp, VV, TT 中部分量，求未知量。或求分子数 NN、摩尔数 nn。

Steps​

  1. 确认温度是否已转换为开尔文(K)
  2. 选择适合的形式：
    • 已知摩尔数 → pV=nRTpV = nRT
    • 已知分子数 → pV=NkTpV = NkT
  3. 代入求解
  4. 注意单位：pp in Pa, VV in m3^3, TT in K

Formula​

pV=nRTpV = nRT pV=NkTpV = NkT k=RNA=1.38×10−23 J K−1k = \frac{R}{N_A} = 1.38 \times 10^{-23}\text{ J K}^{-1}

Mistakes to avoid​

  • 温度必须用开尔文(K)：T=θ+273.15T = \theta + 273.15
  • nn 是摩尔数，N=nNAN = nN_A
  • 体积单位：1 m3^3 = 10610^6 cm3^3

Method 2: 气体动理论方程​

When to use​

涉及分子均方根速度、压强与分子运动的关系。

Steps​

  1. pV=13Nm⟨c2⟩pV = \frac13 Nm\langle c^2\rangle
  2. 若求 cr.m.s.c_{\text{r.m.s.}}：cr.m.s.=⟨c2⟩c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^2\rangle}
  3. 结合 pV=NkTpV = NkT 可消去 pVpV

Formula​

pV=13Nm⟨c2⟩pV = \frac13 Nm\langle c^2\rangle cr.m.s.=⟨c2⟩c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^2\rangle} 12m⟨c2⟩=32kT\frac12 m\langle c^2\rangle = \frac32 kT

Mistakes to avoid​

  • ⟨c2⟩\langle c^2\rangle 是 mean-square speed，不是 (mean speed)2^2
  • mm 是单个分子质量，不是总质量
  • NN 是分子总数

Method 3: 分子平均动能​

When to use​

求分子平均动能、温度与分子速度的关系。

Steps​

  1. 平均平动动能 ⟨EK⟩=32kT\langle E_K \rangle = \frac32 kT
  2. 每个分子：12m⟨c2⟩=32kT\frac12 m\langle c^2\rangle = \frac32 kT
  3. 总内能（单原子理想气体）：U=N⋅32kT=32nRTU = N \cdot \frac32 kT = \frac32 nRT

Formula​

⟨EK⟩=32kT\langle E_K \rangle = \frac32 kT U=32NkT=32nRTU = \frac32 NkT = \frac32 nRT

Mistakes to avoid​

  • 32kT\frac32 kT 是每个分子的平均平动动能
  • 单原子理想气体的内能只含动能
  • U=32nRTU = \frac32 nRT 只适用于单原子理想气体