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解题方法 — Gravitational Fields

Method 1: 引力场强度计算​

When to use​

已知天体质量 MM 和半径 RR（或距离 rr），求引力场强度 gg。

Steps​

  1. 确认 MM 为质量，rr 为距中心的距离
  2. 用 g=GM/r2g = GM/r^2
  3. 若在地球表面附近，g≈9.81g \approx 9.81 N kg−1^{-1}
  4. 若高度 h≪Rh \ll R，可用 g≈g0(1−2h/R)g \approx g_0(1 - 2h/R) 近似

Formula​

g=GMr2g = \frac{GM}{r^2}

Mistakes to avoid​

  • rr 是从中心到点的距离，不是表面到点的距离
  • GG 是引力常数 6.67×10−116.67 \times 10^{-11}，不是 gg

Method 2: 卫星轨道分析​

When to use​

卫星或行星绕中心天体做圆周运动。

Steps​

  1. 引力提供向心力：GMm/r2=mv2/r=mrω2GMm/r^2 = mv^2/r = mr\omega^2
  2. 消去卫星质量 mm：GM/r2=v2/r=rω2GM/r^2 = v^2/r = r\omega^2
  3. 代入 v=2πr/Tv = 2\pi r/T 得：GM/r2=4π2r/T2GM/r^2 = 4\pi^2 r/T^2
  4. 整理得开普勒第三定律：T2=(4π2/GM)r3T^2 = (4\pi^2/GM)r^3

Formula​

GMmr2=mv2r=mrω2\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} = mr\omega^2 T2=4π2GMr3T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3

Mistakes to avoid​

  • 卫星质量 mm 在推导中消去
  • rr 为轨道半径（从中心算起）

Method 3: 引力势能与逃逸​

When to use​

计算将物体从某点移到无穷远所需的功。

Steps​

  1. 引力势 ϕ=−GM/r\phi = -GM/r
  2. 引力势能 EP=mϕ=−GMm/rE_P = m\phi = -GMm/r
  3. 逃逸所需能量 ΔE=0−(−GMm/r)=GMm/r\Delta E = 0 - (-GMm/r) = GMm/r
  4. 逃逸速度：12mv2=GMm/r⇒v=2GM/r\frac12 mv^2 = GMm/r \Rightarrow v = \sqrt{2GM/r}

Formula​

ϕ=−GMr\phi = -\frac{GM}{r} EP=−GMmrE_P = -\frac{GMm}{r} vesc=2GMrv_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

Mistakes to avoid​

  • 势能是负的！数值越大（越接近0）能量越高
  • 逃逸速度公式中的 rr 是起始位置到中心的距离