常见错误 — Gravitational Fields

1. 混淆 $g$ 和 $G$

错误: 用 $g = 9.81$ 代表引力常数。

正确: $G = 6.67 \times 10^{-11}$ N m$^2$ kg$^{-2}$ 是引力常数，$g = 9.81$ N kg$^{-1}$ 是地球表面引力场强度。

Fix: $G$ 是宇宙常数，$g$ 取决于位置。

2. 引力势和势能的正负号

错误: 说 gravitational potential 是正的，或者 $\phi = +GM/r$。

正确: $\phi = -GM/r$，引力势是负的，在无穷远处为零。

Fix: 引力是吸引力，从无穷远移过来做功为正，所以势能减少为负。

3. $r$ 从表面算起

错误: 地球表面高度 $h$ 处用 $g = GM/h^2$。

正确: $r = R + h$（从地心算起），$g = GM/(R+h)^2$。

Fix: 所有引力公式中的 $r$ 都是距离中心的距离。

4. 地球表面 $g$ 恒定误解

错误: 认为 $g = GM/R^2$ 在任何高度都成立。

正确: 只有小高度变化（$h \ll R$）时 $g$ 才近似常数。

Fix: 当 $h$ 较大时必须用 $g = GM/(R+h)^2$。

5. 卫星轨道的周期关系

错误: 认为周期与半径成正比。

正确: $T^2 \propto r^3$（开普勒第三定律），半径增加，周期增加更快。

Fix: 用 $T^2 = (4\pi^2/GM)r^3$ 推导。

6. 同步轨道条件遗漏

错误: 只说周期24小时就算 geostationary。

正确: 还需要：在赤道正上方，从西向东运动。

Fix: 三个条件缺一不可：24h周期、赤道上空、西向东。