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Capacitance — 考纲逐点解读

19.1 Capacitors and capacitance​

1. Define capacitance, as applied to both isolated spherical conductors and to parallel plate capacitors​

  • Capacitance CC: 导体储存电荷能力的量度
  • 定义：C=QVC = \frac{Q}{V}
    • QQ：一个极板上的电荷量
    • VV：两极板间的电势差
  • 对孤立球形导体：C=4πϵ0RC = 4\pi \epsilon_0 R（RR 为球半径）
  • 对平行板电容器：C=ϵ0AdC = \frac{\epsilon_0 A}{d}（AA 为板面积，dd 为板间距）
    • （注：此公式在 syllabus 中未明确要求记忆，但理解有助于解题）

2. Recall and use C=Q/VC = Q / V​

  • 单位：farad (F) = C V−1^{-1}
  • 在实际电路中，常用 μ\muF (10−610^{-6} F)、nF (10−910^{-9} F)、pF (10−1210^{-12} F)

3. Derive, using C=Q/VC = Q / V, formulae for the combined capacitance of capacitors in series and in parallel​

  • 并联：VV 相同 C=C1+C2+C3+…C = C_1 + C_2 + C_3 + \dots
  • 串联：QQ 相同 1C=1C1+1C2+1C3+…\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \dots

4. Use the capacitance formulae for capacitors in series and in parallel​

  • 注意电容串并联公式与电阻串并联相反！

19.2 Energy stored in a capacitor​

1. Determine the electric potential energy stored in a capacitor from the area under the potential–charge graph​

  • VV-QQ 图是直线（V=Q/CV = Q/C），面积 = 12QV\frac{1}{2} QV
  • 充电过程中，VV 从 0 线性增加到最终值，所以平均电压为 V/2V/2

2. Recall and use W=12QV=12CV2W = \frac{1}{2} QV = \frac{1}{2} CV^2​

  • W=12QV=12CV2=12Q2CW = \frac{1}{2} QV = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}
  • 注意三个公式的选择取决于已知量

19.3 Discharging a capacitor​

1. Analyse graphs of variation with time of p.d., charge and current for a capacitor discharging through a resistor​

  • RC 放电时，VV, QQ, II 都按指数规律衰减
  • VV-tt 图：指数衰减曲线（从 V0V_0 趋于 0）
  • II-tt 图：指数衰减曲线（从 I0=V0/RI_0 = V_0/R 趋于 0）
  • QQ-tt 图：指数衰减曲线（从 Q0=CV0Q_0 = CV_0 趋于 0）

2. Recall and use τ=RC\tau = RC for the time constant for a capacitor discharging through a resistor​

  • Time constant τ=RC\tau = RC 的量纲是秒
  • 物理意义：t=τt = \tau 时，V=V0e−1≈0.37V0V = V_0 e^{-1} \approx 0.37 V_0
  • τ\tau 越大，放电越慢

3. Use equations of the form x=x0e−t/RCx = x_0 e^{-t/RC} where xx could represent current, charge or potential difference for a capacitor discharging through a resistor​

  • I=I0e−t/RC,Q=Q0e−t/RC,V=V0e−t/RCI = I_0 e^{-t/RC}, \quad Q = Q_0 e^{-t/RC}, \quad V = V_0 e^{-t/RC}
  • 充电公式：x=x0(1−e−t/RC)x = x_0 (1 - e^{-t/RC})
  • 半衰期（选学但有用）：t1/2=RCln⁡2≈0.693RCt_{1/2} = RC \ln 2 \approx 0.693 RC