Last Minute Summary — Astronomy and Cosmology

必记公式

公式	适用场景
$F = L / (4\pi d^2)$	辐射通量与距离
$\lambda_{\max} T = 2.9 \times 10^{-3}\text{ m K}$	Wien's displacement law
$L = 4\pi\sigma r^2 T^4$	Stefan-Boltzmann law
$\Delta\lambda / \lambda \approx v / c$	Redshift
$v \approx H_0 d$	Hubble's law
$t \approx 1 / H_0$	宇宙年龄估计

常数值

• $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\text{ W m}^{-2}\text{ K}^{-4}$
• $c = 3.00 \times 10^8\text{ m s}^{-1}$
• $L_{\odot} = 3.8 \times 10^{26}\text{ W}$
• $R_{\odot} = 6.96 \times 10^8\text{ m}$
• $H_0 \approx 2.2 \times 10^{-18}\text{ s}^{-1}$（典型值）

考前检查清单

Standard candles (25.1)

• Luminosity = 总辐射功率（W）
• $F = L / (4\pi d^2)$
• Standard candle = 已知 luminosity 的天体
• 测 $F$ → 算 $d$

Stellar radii (25.2)

• Wien's law: $\lambda_{\max} \propto 1/T$
• 高温 → 短波长（蓝色），低温 → 长波长（红色）
• Stefan-Boltzmann: $L = 4\pi\sigma r^2 T^4$
• $r$ = 半径，$T$ = 表面温度
• 结合两式求 $r$：$r = \sqrt{L / (4\pi\sigma T^4)}$

Hubble's law and Big Bang (25.3)

• Redshift: $\lambda_{\text{obs}} > \lambda_{\text{emit}}$（星系远离）
• $\Delta\lambda / \lambda = v / c$
• 所有遥远星系都红移 → 宇宙膨胀
• $v = H_0 d$
• Big Bang: 回溯 → 所有物质始于一点
• 宇宙年龄 $\approx 1 / H_0$
• $H_0$ 单位：s$^{-1}$（SI）