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Solution Methods — Probability Generating Functions

Method 1: Constructing PGF from Word Problem​

适用于从文字描述（不放回取球、掷骰子、抛硬币等）构造 PGF。

Steps
  1. 确定离散随机变量 XX 的所有可能取值
    • 如不放回取 nn 球中红球个数：X=0,1,…,nX = 0, 1, \dots, n
  2. 计算每个取值的概率 P(X=x)P(X = x)
    • 不放回抽样用组合数：Cx成功×Cn−x失败Cn总数\frac{C^{\text{成功}}_x \times C^{\text{失败}}_{n-x}}{C^{\text{总数}}_n}
    • 二项试验用二项概率公式
  3. 写出 GX(t)=∑xP(X=x)⋅txG_X(t) = \sum_x P(X = x) \cdot t^x
  4. 若可能，化简为封闭形式（如 (q+pt)n(q+pt)^n）

Method 2: Finding Mean and Variance via PGF​

适用于已知 G(t)G(t)（多项式或有理函数），要求 E(X)E(X) 和 Var(X)\text{Var}(X)。

Steps
  1. 求一阶导数 G′(t)G'(t)
    • 多项式：逐项求导
    • (a+bt)n(a+bt)^n：n(a+bt)n−1⋅bn(a+bt)^{n-1} \cdot b
    • pt1−qt\frac{pt}{1-qt}：商法则
    • eλ(t−1)e^{\lambda(t-1)}：链式法则
  2. 代入 t=1t = 1 得 E[X]=G′(1)E[X] = G'(1)
  3. 求二阶导数 G′′(t)G''(t)
  4. 代入 t=1t = 1 得 E[X(X−1)]=G′′(1)E[X(X-1)] = G''(1)
  5. Var(X)=G′′(1)+G′(1)−[G′(1)]2\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - [G'(1)]^2

Method 3: Sum of Independent Variables (Product of PGFs)​

适用于求多个独立随机变量之和的分布或概率。

Steps
  1. 写出每个变量的 PGF：GX(t),GY(t),…G_X(t), G_Y(t), \dots
    • 若 XiX_i 独立同分布，GXi(t)=GX(t)G_{X_i}(t) = G_X(t)
  2. 乘积得和 PGF：GX+Y(t)=GX(t)⋅GY(t)G_{X+Y}(t) = G_X(t) \cdot G_Y(t)
    • 多个变量：GX1+⋯+Xn(t)=∏i=1nGXi(t)G_{X_1 + \cdots + X_n}(t) = \prod_{i=1}^{n} G_{X_i}(t)
  3. 若 XiX_i 独立同分布：GSn(t)=[GX(t)]nG_{S_n}(t) = [G_X(t)]^n
  4. 展开 PGF，tkt^k 的系数即为 P(S=k)P(S = k)
    • 若展开复杂，利用组合意义求特定系数

Method 4: Identifying Distribution from PGF​

适用于已知 G(t)G(t)，要求识别分布类型或反推概率分布。

Steps
  1. 将 G(t)G(t) 与标准分布 PGF 比对：
    • (q+pt)n(q+pt)^n → B(n,p)B(n, p)
    • pt1−qt\frac{pt}{1-qt} → Geo(p)\text{Geo}(p)
    • eλ(t−1)e^{\lambda(t-1)} → Po(λ)\text{Po}(\lambda)
    • 1n(t+t2+⋯+tn)\frac{1}{n}(t + t^2 + \cdots + t^n) → DU(n)\text{DU}(n)
  2. 若 G(t)G(t) 是多项式：
    • 展开得 G(t)=∑pktkG(t) = \sum p_k t^k
    • pk=P(X=k)p_k = P(X = k)
  3. 若 GS(t)=[GX(t)]nG_S(t) = [G_X(t)]^n 形式：
    • 开 nn 次方得 GX(t)G_X(t)
    • 由 GX(t)G_X(t) 系数求 XX 的分布