Mark Scheme Patterns — Probability Generating Functions

典型给分点分布

步骤	标记	说明
列出随机变量可能取值	B1	如 $X = 0, 1, 2$
计算单个概率	M1	如 $P(X = 1) = \frac{8}{15}$
写出 $G(t) = \sum P(X=x)t^x$	A1	表达式正确
对 $G(t)$ 求一阶导	M1	至少正确求导
代入 $t = 1$ 得 $E(X)$	A1	$G'(1)$ 正确
对 $G(t)$ 求二阶导	M1	$G''(t)$ 正确
代入 $t = 1$ 得 $E[X(X-1)]$	A1	$G''(1)$ 正确
代入方差公式	M1	$\text{Var}=G''(1)+G'(1)-[G'(1)]^2$
方差数值正确	A1	最终答案 3 s.f.
写出和的 PGF 为乘积	M1	$G_{X+Y} = G_X \cdot G_Y$
识别标准分布 PGF 形式	B1	如 $(q+pt)^n$ 为二项
从展开系数读概率	M1	$t^k$ 系数即 $P(X=k)$
由和的 PGF 反推（开方）	M1	$G_X = [G_S]^{1/n}$

各题型给分模式

构造 PGF 题型

概率计算 M1 → 写出各概率 A1 → 写出 $G(t)$ A1（共 3-4 分）

由 PGF 求均值和方差题型

求导 M1 → $E(X)$ A1 → 二阶导 M1 → $E[X(X-1)]$ A1 → 方差 M1/A1（共 5-6 分）

独立变量和题型

写出各 PGF B1 → 乘积 M1 → 展开/组合系数 M1 → 概率 A1（共 4-5 分）

反推分布题型

识别 $n$ 次方关系 M1 → 开方 M1 → $G_X(t)$ A1 → 由系数得概率 A1（共 4 分）

常见 MS 标记含义

• M1: 方法分（Method mark）— 使用正确的方法
• A1: 准确分（Accuracy mark）— 在方法正确基础上的准确答案
• B1: 独立分（Independent mark）— 不依赖于前序步骤的给分
• ft: 跟随分（Follow through）— 前序错误但后续方法正确仍给分