考前速记 — Probability Generating Functions

核心公式

公式	说明
$G_X(t) = E[t^X] = \sum P(X=x)t^x$	PGF 定义
$G_X(1) = 1$	总概率为 1
$G_X(0) = P(X = 0)$	常数项
$E[X] = G'(1)$	均值
$E[X(X-1)] = G''(1)$	阶乘矩
$\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - [G'(1)]^2$	方差
$G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t)$	独立变量和的 PGF
$G_{S_n}(t) = [G_X(t)]^n$	$n$ 个 i.i.d. 变量和

标准分布 PGF 速查

分布	$G(t)$	$E[X]$	$\text{Var}(X)$
$\text{DU}(n)$	$\frac{1}{n}(t + t^2 + \cdots + t^n)$	$\frac{n+1}{2}$	$\frac{n^2-1}{12}$
$B(n, p)$	$(q+pt)^n$	$np$	$npq$
$\text{Geo}(p)$	$\frac{pt}{1-qt}$	$\frac{1}{p}$	$\frac{q}{p^2}$
$\text{Po}(\lambda)$	$e^{\lambda(t-1)}$	$\lambda$	$\lambda$

解题流程

构造 PGF

读题 → 确定 $X$ 取值 → 计算各 $P(X=x)$ → 写 $G(t) = \sum P(X=x)t^x$

求均值和方差

$G(t)$ → $G'(t)$ → $G'(1) = E[X]$ → $G''(t)$ → $G''(1) = E[X(X-1)]$ → $\text{Var} = G''(1) + G'(1) - [G'(1)]^2$

求和的概率

各 $G$ 相乘 → 展开 → $t^k$ 系数 = $P(\text{sum} = k)$

反推分布

$G_S(t) = [G_X(t)]^n$ → 开 $n$ 次方得 $G_X(t)$ → 读系数

易错点提醒

• $G'(1) = E[X]$，不是 $E[X^2]$
• 方差公式有 $+G'(1)$，不是只有 $G''(1) - [G'(1)]^2$
• 和的 PGF 是乘积，不是和
• 不放回用组合数，不放回用组合数，不放回用组合数（重要的事说三遍）
• 几何分布注意定义（从 $x=1$ 还是 $x=0$ 开始）
• 开方求 $G_X(t)$ 只取正根
• 化简多项式后再求导