Probability Generating Functions（概率生成函数）

考纲要求

1. 理解概率生成函数（PGF）的概念，掌握离散均匀分布（Discrete Uniform）、二项分布（Binomial）、几何分布（Geometric）、泊松分布（Poisson）的 PGF 构造和使用
2. 会用 PGF 求均值和方差：$\mu = G'(1)$，$\sigma^2 = G''(1) + G'(1) - [G'(1)]^2$
3. 理解独立随机变量和的 PGF 等于各 PGF 的乘积：$G_{X+Y}(t) = G_X(t)G_Y(t)$
4. 会由多个独立同分布随机变量和的 PGF 反推单个变量的 PGF

常见题型

题型	频次	典型分值
从离散分布构造 PGF	每年必考	3-5 分
由 PGF 求均值和方差	每年必考	4-6 分
独立随机变量和的 PGF	高频	5-8 分
由和的 PGF 反推原分布	中频	4-7 分

核心公式

概率生成函数定义

$$G_X(t) = E[t^X] = \sum_{x} P(X = x) t^x$$

常用分布的 PGF

分布	$G(t)$	参数条件
离散均匀 (Discrete Uniform)	$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n} t^x$	$X \sim \text{DU}(n)$
二项分布 (Binomial)	$(q + pt)^n$	$X \sim B(n, p)$, $q = 1-p$
几何分布 (Geometric)	$\displaystyle \frac{pt}{1 - qt}$	$X \sim \text{Geo}(p)$
泊松分布 (Poisson)	$e^{\lambda(t-1)}$	$X \sim \text{Po}(\lambda)$

均值与方差

$$G'(t) = \frac{d}{dt}G(t), \quad G''(t) = \frac{d^2}{dt^2}G(t)$$ $$E[X] = G'(1), \quad E[X(X-1)] = G''(1)$$ $$\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - [G'(1)]^2$$

独立随机变量和

若 $X$ 与 $Y$ 独立，则：

$$G_{X+Y}(t) = G_X(t) \cdot G_Y(t)$$

更一般地，若 $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ 且 $X_i$ 独立同分布：

$$G_{S_n}(t) = [G_X(t)]^n$$

常见错误

1. 混淆 $G'(1)$ 与 $E[X^2]$：$G'(1) = E[X]$，而非 $E[X^2]$
2. 方差公式记忆错误：$\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - [G'(1)]^2$，不可遗漏 $G'(1)$
3. 忘记简化多项式系数：构造 PGF 后未合并同类项，导致后续求导错误
4. 不放回抽样概率计算错误：涉及组合数 $C$ 或排列数 $P$ 时混淆
5. 和 PGF 忘记乘积：独立变量和的 PGF 是乘积而非和（$G_X \cdot G_Y$ 而非 $G_X + G_Y$）