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考纲要求 — Non-parametric Tests

1. 非参数检验概述​

  • 参数检验：假设数据来自特定分布（如正态分布），对分布参数（均值、方差）进行推断
  • 非参数检验：不假设总体分布的具体形态，基于数据的秩（rank）或符号（sign）
  • 适用场景：数据不满足正态假设、样本量小、数据类型为序数（ordinal）

2. Sign Test（符号检验）​

  • 单样本：检验总体中位数是否等于某值 m0m_0
  • 配对数据：检验配对差异的中位数是否为 0
  • 方法：计算 X_i > m_0 的个数（正号），X_i < m_0 的个数（负号），忽略相等
  • 检验统计量 SS 服从 B(n,0.5)B(n, 0.5)，其中 nn 为非零差异的个数
  • 适用于不能使用 Wilcoxon 的情况（如数据不对称）

3. Wilcoxon Signed-Rank Test（符号秩检验）​

  • 单样本：检验总体中位数是否等于某值 m0m_0
  • 配对数据：检验配对差异的中位数是否为 0
  • 步骤：
    1. 计算差异（观测值 - 中位数 或 配对差）
    2. 忽略零差异，对非零差异取绝对值
    3. 对绝对值排序（从小到大），赋予秩 1, 2, ..., nn
    4. 将符号（正/负）赋回各秩
    5. T+T^+ = 正秩和，T−T^- = 负秩和
    6. 检验统计量 T=min⁡(T+,T−)T = \min(T^+, T^-)
  • 对称性假设：差异的分布必须对称（否则只能用 Sign test）

4. Wilcoxon Rank-Sum Test / Mann-Whitney Test（秩和检验）​

  • 两独立样本比较，检验两个总体是否相同
  • 步骤：
    1. 合并两个样本，对所有数据进行排序（从小到大）
    2. 赋予秩 1, 2, ..., NN（N=n1+n2N = n_1 + n_2）
    3. 计算第一个样本的秩和 R1R_1
    4. 检验统计量 W=R1W = R_1（或 min⁡(R1,R2)\min(R_1, R_2)，视版本书）
  • 不需要对称性假设

5. 正态近似​

  • Signed-rank：n > 20 时，TT 近似正态分布

    • μT=n(n+1)4\mu_T = \dfrac{n(n+1)}{4}
    • σT=n(n+1)(2n+1)24\sigma_T = \sqrt{\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{24}}
    • 连续性校正：z=T±0.5−μTσTz = \dfrac{T \pm 0.5 - \mu_T}{\sigma_T}
    • 用 TT 还是 T+T^+ 取决于检验方向

  • Rank-sum：n_1, n_2 > 10 时，WW 近似正态分布

    • μW=n1(n1+n2+1)2\mu_W = \dfrac{n_1(n_1 + n_2 + 1)}{2}
    • σW=n1n2(n1+n2+1)12\sigma_W = \sqrt{\dfrac{n_1 n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12}}
    • 连续性校正：z=W±0.5−μWσWz = \dfrac{W \pm 0.5 - \mu_W}{\sigma_W}

6. 非参数 vs 参数检验的选择​

条件推荐检验
正态分布 + 等方差t-test / paired t-test
非正态 / 小样本 / 序数数据Wilcoxon / Sign test
配对数据 + 对称性Wilcoxon signed-rank
配对数据 + 不对称Sign test
两独立样本 + 非正态Wilcoxon rank-sum
单样本中位数 + 对称Wilcoxon signed-rank
单样本中位数 + 不对称Sign test