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Non-parametric Tests（非参数检验）

考纲要求​

  1. 理解非参数检验与参数检验的区别（不假设总体分布形态）
  2. Sign test（符号检验）：单样本中位数检验、配对数据检验
  3. Wilcoxon signed-rank test（符号秩检验）：单样本中位数检验、配对数据检验
  4. Wilcoxon rank-sum test（秩和检验 / Mann-Whitney 检验）：两独立样本比较
  5. 正态近似：当样本量较大时（signed-rank: n > 20，rank-sum: n_1, n_2 > 10）使用正态近似
  6. 何时使用非参数检验 vs 参数检验

常见题型​

题型识别关键词分值占比
Wilcoxon Signed-Rank (单样本)"test whether median = ...", "differences from median"8–10 marks
Wilcoxon Matched-Pairs"paired comparison", "before and after", "matched pairs"8–10 marks
Wilcoxon Rank-Sum (两独立样本)"two independent samples", "compare two groups"8–10 marks
Sign Test"sign test", "ignore magnitude", "count signs"6–8 marks
Normal Approximation"large sample", "normal approximation", "n > 20"8–10 marks

核心公式​

公式说明
T=min⁡(T+,T−)T = \min(T^+, T^-)Wilcoxon signed-rank 检验统计量
T+=∑T^+ = \sum 正秩和，T−=∑T^- = \sum 负秩和正负秩和
μT=n(n+1)4\mu_T = \dfrac{n(n+1)}{4}正态近似均值（signed-rank）
σT=n(n+1)(2n+1)24\sigma_T = \sqrt{\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{24}}正态近似标准差（signed-rank）
z=T±0.5−μTσTz = \dfrac{T \pm 0.5 - \mu_T}{\sigma_T}连续性校正后的 zz 统计量
W=min⁡(R1,R2)W = \min(R_1, R_2) 或直接使用 R1R_1Wilcoxon rank-sum 检验统计量
μW=n1(n1+n2+1)2\mu_W = \dfrac{n_1(n_1 + n_2 + 1)}{2}正态近似均值（rank-sum）
σW=n1n2(n1+n2+1)12\sigma_W = \sqrt{\dfrac{n_1 n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12}}正态近似标准差（rank-sum）
S∼B(n,0.5)S \sim B(n, 0.5)Sign test 中符号数服从二项分布

常见错误​

  • Wilcoxon signed-rank：假设数据对称（对称性假设），否则只能用 Sign test
  • T=min⁡(T+,T−)T = \min(T^+, T^-)，记住是比较小的一边
  • 正态近似忘记 +0.5+0.5 连续性校正
  • Rank-sum test 中样本大小记反：n1n_1 是第一个样本
  • 零差异（difference = 0）的处理：排除或按规则分配
  • 混淆单尾和双尾的临界值表