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考前速记 — Inference Using Normal and t-Distributions

核心公式速查​

单样本 t 检验​

t=xˉ−μ0s2/n,df=n−1t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sqrt{s^2/n}}, \quad \text{df} = n-1

双样本合并 t 检验​

sp2=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}

t=xˉ1−xˉ2sp2(1/n1+1/n2),df=n1+n2−2t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_p^2(1/n_1 + 1/n_2)}}, \quad \text{df} = n_1+n_2-2

配对 t 检验​

di=xi−yi,t=dˉ−d0sd2/n,df=n−1d_i = x_i - y_i, \quad t = \frac{\bar{d} - d_0}{\sqrt{s_d^2/n}}, \quad \text{df} = n-1

大样本 z 检验​

z=xˉ1−xˉ2s12/n1+s22/n2∼N(0,1)z = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}} \sim N(0,1)

置信区间​

情形公式
单样本（t）xˉ±tα/2(n−1)⋅s2/n\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \sqrt{s^2/n}
双样本合并（t）(xˉ1−xˉ2)±tα/2(n1+n2−2)⋅sp2(1/n1+1/n2)(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2) \cdot \sqrt{s_p^2(1/n_1 + 1/n_2)}
配对（t）dˉ±tα/2(n−1)⋅sd2/n\bar{d} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \sqrt{s_d^2/n}
大样本（z）(xˉ1−xˉ2)±zα/2⋅s12/n1+s22/n2(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}

自由度一览​

检验df
单样本 tn−1n-1
双样本合并 tn1+n2−2n_1+n_2-2
配对 tn−1n-1（nn = 对数）
z 检验∞\infty（正态表）

临界值速记​

α\alphazα/2z_{\alpha/2}（双尾）zαz_{\alpha}（单尾）
0.101.6451.282
0.051.9601.645
0.012.5762.326

t 临界值需查表（记住 df 依赖）。

区分要点​

配对 vs 独立​

特征配对独立
对象同一组对象测量两次两组不同对象
数据成对出现两组独立
方法计算差值合并方差
df对数 - 1n1+n2−2n_1+n_2-2

t 分布 vs 正态分布​

条件使用
方差已知正态分布 zz
方差未知，nn 小t 分布
方差未知，nn 大正态分布 zz（用 ss 代替 σ\sigma）

正态假设措辞模板​

  • 单样本："Assume the population is normally distributed"
  • 双样本合并："Assume both populations are normally distributed with equal variance"
  • 配对："Assume the differences are normally distributed"

答题步骤模板​

假设检验：

  1. H0:μ=μ0H_0: \mu = \mu_0，H1:μ≠μ0H_1: \mu \neq \mu_0
  2. α=0.05\alpha = 0.05
  3. t=(xˉ−μ0)/s2/n=…t = (\bar{x} - \mu_0)/\sqrt{s^2/n} = \dots
  4. Critical value: tα/2(n−1)=…t_{\alpha/2}(n-1) = \dots
  5. Since |t| \; ( > / < ) \; t_{\text{crit}}，we reject/do not reject H0H_0
  6. In context: There is sufficient/insufficient evidence that...

易错点（考场 30 秒回顾）​

  • df：配对 n−1n-1（对数），合并 n1+n2−2n_1+n_2-2，单样本 n−1n-1
  • 单尾 vs 双尾：≠\neq → 双尾，> 或 < → 单尾
  • 配对 vs 独立：同一人群两次 → 配对，不同人群 → 独立
  • 正态假设：t 检验必须写明，z 检验不需
  • s2s^2 vs ss：方差是标准差的平方
  • 结论措辞：不说 "accept"，说 "do not reject"
  • 有效数字：最终答案 3 s.f.

常考题型索引​

题型文件位置典型真题
单样本 t 检验Question Type 1S20 Q4, W20 Q1, S21 Q1, W21 Q1, S22 Q1, W22 Q1, S23 Q1, W23 Q1, S24 Q1, S25 Q1, W25 Q1
单样本置信区间Question Type 2S20 Q5, W20 Q4, S21 Q4, W22 Q6, S23 Q2, W23 Q3, S24 Q6, S25 Q4, W25 Q3
双样本合并 t 检验Question Type 3S21 Q4, W21 Q4, S22 Q5, W22 Q6, S23 Q2, W23 Q3, S24 Q6, W25 Q6
配对 t 检验Question Type 4S20 Q4, W20 Q4, S22 Q1, W23 Q1, S25 Q1
双样本 z 检验Question Type 5S21 Q1, W21 Q4, S22 Q5, W25 Q6, S25 Q4
均值差置信区间Question Type 6S20 Q5, W20 Q4, S21 Q4, W22 Q6, S23 Q2, W23 Q3, S24 Q6, S25 Q4, W25 Q3