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常见错误 — Inference Using Normal and t-Distributions

错误 1：混淆配对与独立样本​

错误想法：将配对数据当作独立样本处理。

正解：

  • 同一对象前后测量 → 配对
  • 不同对象各测一次 → 独立
  • 配对检验用差值 did_i，df =n−1= n-1；独立检验用合并方差，df =n1+n2−2= n_1+n_2-2

示例：10 个病人服药前后的血压 → 配对。30 个男生和 30 个女生的体重 → 独立。

错误 2：自由度错误​

检验正确 df常见错误 df
单样本 tn−1n-1nn
双样本合并 tn1+n2−2n_1 + n_2 - 2n1+n2n_1 + n_2 或 min⁡(n1,n2)−1\min(n_1, n_2) - 1
配对 tn−1n-1（nn = 对数）2n−12n - 1 或 2n−22n - 2
大样本 z∞\infty（查正态表）查 t 表

错误 3：小样本用 z 代替 t​

错误：当样本量小（n < 30）且方差未知时，仍使用 z=(xˉ−μ)/(s/n)z = (\bar{x} - \mu)/(s/\sqrt{n}) 并查正态分布表。

正解：小样本且方差未知时必须用 t 分布。t 分布尾部更厚，临界值更大，更保守。

错误 4：忘记说明正态性假设​

错误：解题过程中没有写出 "Assume the population is normally distributed"。

正解：

  • 单样本 t 检验："Assume the population is normally distributed"
  • 双样本合并 t 检验："Assume both populations are normally distributed with equal variance"
  • 配对 t 检验："Assume the differences are normally distributed"
  • 大样本 z 检验：无需假设（CLT）

MS 中通常有 B1 专门给正态假设。

错误 5：单尾/双尾判断错误​

错误：H1:μ≠μ0H_1: \mu \neq \mu_0 时用了 tαt_{\alpha} 而不是 tα/2t_{\alpha/2}。

正解：

  • ≠\neq → 双尾 → 临界值 tα/2t_{\alpha/2}
  • > → 右单尾 → 临界值 tαt_{\alpha}
  • < → 左单尾 → 临界值 −tα-t_{\alpha}

错误 6：合并方差计算错误​

错误 1：sp2=s12+s222s_p^2 = \frac{s_1^2 + s_2^2}{2}（简单平均，忽略了样本量权重）

错误 2：sp2=(n1−1)s1+(n2−1)s2n1+n2−2s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1 + (n_2-1)s_2}{n_1+n_2-2}（用了标准差而不是方差）

正解： sp2=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} 分子是 方差 的加权和，不是标准差。

错误 3：合并方差公式中忘记分母 −2-2

错误 7：标准误公式错误​

错误：t=xˉ1−xˉ2sp2/(n1+n2)t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_p^2/(n_1 + n_2)}}

正解： t=xˉ1−xˉ2sp2(1/n1+1/n2)t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_p^2(1/n_1 + 1/n_2)}} 分母是 sp2×(1/n1+1/n2)\sqrt{s_p^2 \times (1/n_1 + 1/n_2)}，不是 sp2/(n1+n2)\sqrt{s_p^2/(n_1+n_2)}。

错误 8：配对 t 检验中使用错误假设​

错误：写成 "Assume the populations are normally distributed"。

正解："Assume the differences are normally distributed." 配对 t 检验关注的是差值分布，不是原始数据分布。

错误 9：计算 s2s^2 时分母错误​

错误：用 nn 而不是 n−1n-1 计算样本方差。

正解： s2=∑(xi−xˉ)2n−1s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} 题目通常已给 s2s^2 或 ss，无需重新计算。

错误 10：置信区间解释错误​

错误：认为 "95% CI 意味着总体均值有 95% 概率落在区间内"。

正解：置信区间是随机的——如果重复抽样多次，约 95% 的区间会包含总体均值。对于构造出的具体区间，不能说概率。

错误 11：假设检验结论表述错误​

错误："Accept H0H_0"（接受原假设）

正解：只能说 "Do not reject H0H_0"（不拒绝原假设）。不能证明 H0H_0 为真，只能说没有足够证据拒绝它。

快速检查清单​

考前务必检查：

  • 配对/独立判断正确？
  • 自由度正确？
  • 是否用了正确的分布（t vs z）？
  • 正态假设是否已说明？
  • 单尾/双尾临界值正确？
  • 合并方差用的是方差（平方）而不是标准差？
  • 标准误公式正确（倒数之和）？
  • 结论写的是 "reject" 还是 "do not reject"？
  • 最终答案保留 3 位有效数字？