Inference Using Normal and t-Distributions（正态分布与t分布推断）

考纲要求

根据 CAIE 9231 Further Mathematics Paper 4 Syllabus（Topic 4.2）：

• 对总体均值进行假设检验：当方差未知且样本量较小时使用 t 检验
• 从两个样本计算 合并方差（pooled estimate of population variance）
• 双样本 t 检验（two-sample t-test）与 配对样本 t 检验（paired sample t-test）
• 使用 正态分布（大样本情形）进行检验
• 构造总体均值的 置信区间（t 分布）
• 构造总体均值之差的 置信区间

常见题型

题型	知识点	常见方法
单样本 t 检验	$H_0: \mu = \mu_0$，小样本，$\sigma^2$ 未知	$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sqrt{s^2/n}} \sim t(n-1)$
单样本置信区间（t）	基于 t 分布的区间估计	$\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \sqrt{s^2/n}$
双样本合并 t 检验	$H_0: \mu_1 = \mu_2$，等方差假设	$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
配对样本 t 检验	同一被试前后两次测量	$t = \frac{\bar{d} - d_0}{\sqrt{s_d^2/n}} \sim t(n-1)$
双样本 z 检验	大样本（$n_1, n_2 \ge 30$）	$z = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}} \sim N(0,1)$
均值差置信区间	两总体均值之差估计	$(\bar{x}_1-\bar{x}_2) \pm z \cdot \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}$

核心公式

单样本 t 统计量

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sqrt{s^2/n}}, \quad \text{df} = n - 1$

合并方差（双样本等方差假设）

$s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$

$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}, \quad \text{df} = n_1 + n_2 - 2$

配对 t 统计量

$d_i = x_i - y_i, \quad t = \frac{\bar{d} - d_0}{\sqrt{s_d^2/n}}, \quad \text{df} = n - 1$

置信区间（均值）

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \sqrt{\frac{s^2}{n}}$

置信区间（均值差）

$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2}(\nu) \cdot \sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}$

大样本 z 统计量

$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \quad \text{或} \quad z = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$

常见错误

1. 混淆配对与独立样本 — 同一对象前后测量使用配对，不同对象使用独立
2. 自由度错误 — 配对检验忘记 df = n-1（差异个数减 1），合并检验忘记 df = n₁+n₂-2
3. 小样本误用 z 检验 — 方差未知且样本量小时必须使用 t 分布
4. 忘记说明正态性假设 — 审题时必须写出 "Assume the population(s) are normally distributed"
5. 单尾/双尾判断错误 — 仔细审查 $H_1$ 的符号（$\neq$ 双尾，< 或 > 单尾）
6. 计算方差时忘记平方 — 标准差的平方才是方差