跳到主要内容

考纲要求 — Continuous Random Variables

4.1 Continuous Random Variables​

1. 概率密度函数 (Probability Density Function)​

连续随机变量 XX 的概率密度函数 f(x)f(x) 满足：

  • f(x)≥0f(x) \ge 0 对所有 x∈Rx \in \mathbb{R}
  • ∫−∞∞f(x) dx=1\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1
  • P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \le X \le b) = \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx

PDF 可以分段定义（piecewise），在非定义域上取值为 0。

2. 累积分布函数 (Cumulative Distribution Function)​

F(x)=P(X≤x)=∫−∞xf(t) dtF(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt

性质：

  • FF 是非递减函数
  • lim⁡x→−∞F(x)=0\displaystyle \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0，lim⁡x→∞F(x)=1\displaystyle \lim_{x \to \infty} F(x) = 1
  • F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)（在 ff 连续点处）

3. 期望 (Expectation)​

对任意函数 gg：

E[g(X)]=∫−∞∞g(x)f(x) dxE[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x)\,dx

特殊情况：

  • E[X]=∫−∞∞xf(x) dxE[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx（均值）
  • E[X2]=∫−∞∞x2f(x) dxE[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)\,dx

4. 方差 (Variance)​

Var(X)=E[(X−μ)2]=E[X2]−(E[X])2\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] = E[X^2] - (E[X])^2

其中 μ=E[X]\mu = E[X]。

5. 中位数与分位数 (Median and Quantiles)​

中位数 mm：F(m)=0.5F(m) = 0.5，即 P(X≤m)=P(X≥m)=0.5P(X \le m) = P(X \ge m) = 0.5

下四分位数 Q1Q_1：F(Q1)=0.25F(Q_1) = 0.25

上四分位数 Q3Q_3：F(Q3)=0.75F(Q_3) = 0.75

四分位距 (IQR)：IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1

百分位数：P(X≤pα)=αP(X \le p_{\alpha}) = \alpha，其中 α∈(0,1)\alpha \in (0, 1)

6. 变换 (Transformations)​

若 Y=g(X)Y = g(X)，可用 CDF 法 求 YY 的分布：

  1. FY(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)F_Y(y) = P(Y \le y) = P(g(X) \le y)
  2. 将不等式改写为 XX 的范围
  3. 用 FXF_X 或积分计算概率
  4. fY(y)=FY′(y)f_Y(y) = F_Y'(y)

常见变换类型：

  • 线性 Y=aX+bY = aX + b：直接用 E[Y]=aE[X]+bE[Y] = aE[X] + b，Var(Y)=a2Var(X)\text{Var}(Y) = a^2\text{Var}(X)
  • 平方 Y=X2Y = X^2：注意 y≥0y \ge 0 且 P(−y≤X≤y)P(- \sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})
  • 倒数 Y=1/XY = 1/X：注意定义域和不等号方向
  • 指数/对数：注意定义域限制