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MS模式 — Continuous Random Variables

常见指令词与对应要求

指令词	含义	常见给分点
"Find"	求值	过程分 + 答案分
"Show that"	证明	完整推导链
"Verify"	验证	代入或证明满足条件
"Determine"	确定	需给出推理过程
"Sketch"	画图	标注关键点、轴、形状
"Hence"	由此	使用前问结果，否则可能不给分
"State"	陈述	通常只需答案，无需过程

典型给分点分布

步骤	标记	说明
写出 $\int f(x)\,dx = 1$	B1	识别总概率条件
正确积分	M1	积分方法正确
积分结果	A1	代数化简正确
求 $k$ 值	A1	最终常数正确
写出 $F(x) = \int f(t)\,dt$	M1	方法分
分段积分过程	M1	每段各 1 个 M1
CDF 各段表达式	A1	每段各 1 分
验证端点条件	B1	$F(-\infty) = 0$ ， $F(\infty) = 1$
$E[X]$ 积分式	M1	$\int x f(x)\,dx$
$E[X]$ 计算结果	A1	数值正确
$E[X^2]$ 积分式	M1	$\int x^2 f(x)\,dx$
$E[X^2]$ 计算结果	A1	数值正确
$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$	M1	方差公式
$\text{Var}(X)$ 结果	A1	最终方差
$F(m) = 0.5$ 或 $F(Q) = \alpha$	M1	写出分位数方程
解方程过程	M1	代数求解
中位数/四分位数	A1	数值正确
$F_Y(y) = P(g(X) \le y)$	M1	变换第一步
正确转换不等式	M1	单调性分析
用 $F_X$ 或积分表示	M1	概率表达式
$F_Y(y)$ 最终形式	A1	CDF 正确
$f_Y(y) = F_Y'(y)$ 求导	M1	链式法则
$f_Y(y)$ 正确答案	A1	PDF 正确含定义域

MS 常见给分模式

模式 A：求常数 + 概率（约 6-8 分）

B1 $\int f = 1$ → M1 积分 → A1 $k$ → M1 概率积分 → A1 概率值

模式 B：求 CDF + 中位数（约 8-10 分）

M1 积分方法 → A1 $F(x)$ 第一段 → A1 $F(x)$ 第二段 → ... → B1 验证 → M1 $F(m) = 0.5$ → A1 $m$

模式 C：求 $E(X)$ + $\text{Var}(X)$ （约 6-9 分）

M1 $E[X]$ 积分 → A1 $E[X]$ → M1 $E[X^2]$ 积分 → A1 $E[X^2]$ → M1 方差公式 → A1 $\text{Var}(X)$

模式 D：变换 $Y = g(X)$ （约 5-8 分）

M1 $F_Y(y) = P(g(X) \le y)$ → M1 不等式转换 → A1 $F_Y(y)$ → M1 求导 → A1 $f_Y(y)$

模式 E：分段 PDF 综合（约 10-13 分）

(a) 求常数：M1 A1 (2-3 分)
(b) 求 CDF：M1 A1 A1 (3-4 分)
(c) 求 $E(X)$ ：M1 A1 (2-3 分)
(d) 求中位数：M1 A1 (2-3 分)

高效答题建议

先写公式再代入：如先写 $E[X] = \int x f(x)\,dx$ ，再代入 $f(x)$
分段清晰标注：每段单独积分，用 + 连接
答案精度：除非指定，否则用 3 s.f. 或 exact form
CDF 写法：明确写出各段 $x$ 的取值范围
变换题：先判断 $g$ 的单调性，再处理不等式
不必化简到最简：MS 常接受中间形式，但最终答案需简洁
follow-through (FT)：前问错误不影响后问方法分，但需使用一致的错误结果

常见指令词与对应要求
典型给分点分布
MS 常见给分模式
高效答题建议