考前总结 — Continuous Random Variables

必背公式

PDF 与 CDF

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1, \quad f(x) \ge 0$$ $$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt, \quad f(x) = F'(x)$$

概率

$$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

期望与方差

$$E[g(X)] = \int g(x) f(x)\,dx$$ $$E[X] = \int x f(x)\,dx, \quad E[X^2] = \int x^2 f(x)\,dx$$ $$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$$

分位数

$$F(m) = 0.5, \quad F(Q_1) = 0.25, \quad F(Q_3) = 0.75$$

变换 CDF 法

$$F_Y(y) = P(g(X) \le y), \quad f_Y(y) = F_Y'(y)$$

题型速览

题型	核心操作	常考分值
求常数 $k$	$\int f = 1$	2-3
求 CDF	$\int_{-\infty}^x f$	4-6
求 $E(X)$	$\int xf$	2-3
求 $\text{Var}(X)$	$\int x^2f - (E[X])^2$	3-5
中位数/四分位数	解 $F = 0.5/0.25/0.75$	3-5
变换 $Y = g(X)$	CDF 法求导	5-9
分段 PDF 综合	各段分别处理	8-13

高频红牌警告

1. 写答案前验证 $\int f = 1$ —— 这是最基本的 sanity check
2. 分位数求解后 确认落在正确区间
3. 变换注意 单调性 + 定义域 + 链式法则
4. 方差 是 $E[X^2] - (E[X])^2$，不是 $E[X^2] - E[X]$
5. $E[g(X)]$ 是 $\int g(x) f(x)\,dx$，不是 $g(E[X])$

考场检查清单

• 求常数后是否验证 $f(x) \ge 0$？
• CDF 各段在边界处是否连续？
• $F(-\infty) = 0$ 和 $F(\infty) = 1$ 是否满足？
• 中位数是否在两个分位点之间？
• $E[X^2]$ 是否用正确积分式？
• 变换后 $f_Y(y)$ 的 $y$ 定义域是否写明？
• 所有答案是否按要求精度给出（3 s.f. / exact）？

近五年试卷考点分布

试卷	题号	考点
9231/s20/qp/41	Q3	PDF → CDF，$E(X)$，中位数
9231/w20/qp/41	Q6	分段 PDF，常数，$E(X)$，$\text{Var}(X)$
9231/s21/qp/41	Q3	PDF 常数，CDF，$E(X)$
9231/w21/qp/41	Q2	变换 $Y = g(X)$，CDF 法
9231/s22/qp/41	Q3	PDF，$E(X)$，$\text{Var}(X)$，中位数
9231/w22/qp/41	Q5	分段 PDF，常数，CDF，四分位数
9231/s23/qp/41	Q6	变换 $Y = g(X)$，CDF 法求导
9231/w23/qp/41	Q4	PDF，$E[g(X)]$，$\text{Var}(X)$
9231/s24/qp/41	Q7	分段 PDF 综合，CDF，中位数
9231/w24/qp/41	Q4	变换 $Y = X^2$，CDF 法
9231/s25/qp/41	Q2	PDF 常数，$E(X)$，中位数
9231/w25/qp/41	Q5	分段 PDF，常数，CDF，$\text{Var}(X)$