Continuous Random Variables（连续随机变量）

考纲要求

1. 理解连续随机变量与离散随机变量的区别，理解概率密度函数（PDF）的概念
2. 已知 PDF $f(x)$，求常数 $k$：利用 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$
3. 由 PDF 求累积分布函数（CDF）：$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$
4. 由 CDF 求 PDF：$f(x) = F'(x)$
5. 计算期望：$\displaystyle E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)\,dx$
6. 计算方差：$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$
7. 求中位数（Median）：$F(m) = 0.5$
8. 求四分位数（Quartiles）：$F(Q_1) = 0.25$，$F(Q_3) = 0.75$
9. 求百分位数（Percentiles）：$F(p) = \alpha$，其中 $\alpha$ 为对应比例
10. 变换 $Y = g(X)$ 的分布：CDF 法 $F_Y(y) = P(Y \le y) = P(g(X) \le y)$，然后求导得 PDF

常见题型

题型	频次	典型分值
求 PDF 中的常数	几乎每年	2-3 分
求 CDF 并计算概率	每年必考	4-6 分
求 $E(X)$ 和 $\text{Var}(X)$	每年必考	4-7 分
求中位数 / 四分位数	高频	3-5 分
变换 $Y = g(X)$ 的分布	高频	5-9 分
分段 PDF 综合题	高频	8-12 分

核心公式

PDF 与 CDF 关系

$$f(x) \ge 0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$$ $$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt, \quad f(x) = F'(x)$$

概率计算

$$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

注意连续随机变量中 $P(X = a) = 0$，因此 P(a \le X \le b) = P(a < X < b)

期望与方差

$$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x)\,dx$$ $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx$$ $$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)\,dx - \left(\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx\right)^2$$

中位数与四分位数

$$F(m) = 0.5 \quad \text{(Median)}$$ $$F(Q_1) = 0.25, \quad F(Q_3) = 0.75$$ $$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$$

变换（CDF 法）

对 $Y = g(X)$：

1. 写出 $F_Y(y) = P(Y \le y) = P(g(X) \le y)$
2. 解不等式得 $X$ 的范围
3. 用 $F_X$ 或积分表示概率
4. $f_Y(y) = F_Y'(y)$

线性变换

若 $Y = aX + b$，则：

$$E[Y] = aE[X] + b, \quad \text{Var}(Y) = a^2\text{Var}(X)$$

常见错误

1. 忘记 PDF 非负性：求常数后未检查 $f(x) \ge 0$ 对所有 $x$ 成立
2. 积分上下限错误：分段 PDF 使用错误的分段区间
3. CDF 忘记常数：不定积分后忘记使用 $F(-\infty) = 0$ 确定常数
4. 方差公式混淆：$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ 而非 $E[X^2] - E[X]$
5. 变换时方向反：$Y = X^2$ 变换时忘记考虑 $y \ge 0$ 和正负号
6. 连续随机变量的概率点：误以为 $P(X = a) \ne 0$