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考纲要求 — Chi-squared Tests

1. χ2\chi^2 检验基本原理​

  • 观测频数 OO 与期望频数 EE 的比较
  • 统计量 χ2=∑(O−E)2E\chi^2 = \sum \dfrac{(O - E)^2}{E} 服从（近似）χ2\chi^2 分布
  • 大样本条件：每个 E≥5E \geq 5

2. 拟合优度检验（GOF）​

  • 检验数据是否符合某个特定分布（Binomial、Poisson 或给定 PDF）
  • 步骤：
    1. 提出 H0H_0（数据服从指定分布）和 H1H_1（数据不服从指定分布）
    2. 计算每个类别的期望频数 E=n×P(X=x)E = n \times P(X = x)
    3. 若需要从数据估计分布参数（如 Binomial 的 pp 或 Poisson 的 λ\lambda），则先估计
    4. 合并 E < 5 的类别
    5. 计算 χ2\chi^2 统计量
    6. 自由度 df=k−1−m\mathrm{df} = k - 1 - m，其中 mm 是估计的参数个数
    7. 与临界值比较，得结论

3. 独立性检验（Contingency Tables）​

  • 检验两个分类变量是否独立
  • 步骤：
    1. 提出 H0H_0（变量独立）和 H1H_1（变量不独立）
    2. 计算每格期望频数 Eij=Ri×CjTE_{ij} = \dfrac{R_i \times C_j}{T}
    3. 合并 E < 5 的单元格（整行或整列合并）
    4. 计算 χ2\chi^2 统计量
    5. 自由度 df=(r−1)(c−1)\mathrm{df} = (r - 1)(c - 1)
    6. 与临界值比较，得结论

4. 期望频数合并规则​

  • 任何预期频数 E < 5 的单元格必须与相邻单元格合并
  • 合并后重新计算 χ2\chi^2
  • 合并后自由度相应减少（类别数 kk 减少）

5. 不考内容​

  • Yates 连续性校正
  • χ2\chi^2 检验用于比例比较（已从考纲移除）