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解题方法 — Chi-squared Tests

方法一：拟合优度检验（一般流程）​

步骤​

  1. 确定理论分布，提出假设
  2. 若分布参数未知，从样本估计
  3. 计算每类的理论概率 pip_i
  4. 计算期望频数 Ei=n×piE_i = n \times p_i
  5. 检查 EiE_i，合并 E_i < 5 的类别
  6. 计算 χ2=∑(Oi−Ei)2Ei\chi^2 = \sum \dfrac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
  7. 自由度 df=k−1−m\mathrm{df} = k - 1 - m（kk = 合并后类别数，mm = 估计参数数）
  8. 查表比较，下结论

Binomial 特殊情况​

  • 若 nn 未知，需从数据估计；若已知，直接用已知 nn
  • 估计 pp：p^=∑x×fxn×total\hat{p} = \dfrac{\sum x \times f_x}{n \times \text{total}}（加权平均）
  • 最后几项合并使 E≥5E \geq 5
  • 例如 P(X≥r)P(X \geq r) 合并为一项

Poisson 特殊情况​

  • 估计 λ^=xˉ=∑x×fxtotal\hat{\lambda} = \bar{x} = \dfrac{\sum x \times f_x}{\text{total}}
  • 右侧尾部合并：P(X≥r)=1−∑x=0r−1P(X=x)P(X \geq r) = 1 - \sum_{x=0}^{r-1} P(X = x)

方法二：独立性检验（一般流程）​

步骤​

  1. 构造列联表，标注行和、列和、总和
  2. 对每格计算 Eij=Ri×CjTE_{ij} = \dfrac{R_i \times C_j}{T}
  3. 检查所有 Eij≥5E_{ij} \geq 5，否则合并行或列
  4. 计算 χ2=∑(Oij−Eij)2Eij\chi^2 = \sum \dfrac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}
  5. 自由度 df=(r−1)(c−1)\mathrm{df} = (r - 1)(c - 1)
  6. 查表比较，下结论

计算技巧​

  • 先算行和 RiR_i、列和 CjC_j、总和 TT
  • 逐格计算 EijE_{ij}，不要四舍五入到整数
  • 使用分数或保留更多小数位

方法三：检验临界值与结论​

标准结论模板

H0H_0: The data follow the specified distribution / the variables are independent

H1H_1: The data do not follow the specified distribution / the variables are not independent

χ2\chi^2 test statistic =‾ = \underline{\qquad}

χcritical2(ν=‾, α=‾)=‾\chi^2_{\text{critical}} (\nu = \underline{\qquad},\ \alpha = \underline{\qquad}) = \underline{\qquad}

Since \chi^2_{\text{calc}} \; [> / <] \; \chi^2_{\text{crit}} at the ‾%\underline{\qquad}\% significance level, we [reject / do not reject] H0H_0.

Conclusion: There is [sufficient / insufficient] evidence to suggest that...