考前总结 — Chi-squared Tests

核心公式速记

公式	用途
$\chi^2 = \sum \dfrac{(O - E)^2}{E}$	所有卡方检验
$E_{\text{GOF}} = n \times P(X = x)$	拟合优度期望
$E_{\text{ind}} = \dfrac{R_i \times C_j}{T}$	独立性期望
$\nu_{\text{GOF}} = k - 1 - m$	GOF 自由度
$\nu_{\text{ind}} = (r - 1)(c - 1)$	独立性自由度

解题五步法

1. Identify：确定是 GOF 还是 Independence
2. Expected：计算期望频数（注意参数估计和 $E \geq 5$）
3. Chi-squared：计算 $\chi^2 = \sum (O-E)^2/E$
4. df：计算自由度
5. Conclusion：查表 → 比较 → 结论

Binomial GOF 特别提醒

• $\hat{p} = \dfrac{\sum x f_x}{n \sum f_x}$，注意 $n$ 是每次试验的次数
• 最后 $P(X \geq r)$ 合并为一项
• $\mathrm{df} = k - 1 - 1$（估计 $p$）

Poisson GOF 特别提醒

• $\hat{\lambda} = \bar{x}$
• $P(X = x) = e^{-\lambda} \lambda^x / x!$
• $P(X \geq r) = 1 - \sum_{x=0}^{r-1} P(X = x)$
• $\mathrm{df} = k - 1 - 1$（估计 $\lambda$）

独立性检验特别提醒

• $E_{ij}$ 保留分数或至少 2 位小数
• 先检查 $E_{ij}$ 再决定是否合并
• $2 \times 2$ 表：$\mathrm{df} = 1$
• 临界值从 $\chi^2$ 分布表查（右尾）

考试中常见陷阱

• ❌ 忘记 $E \geq 5$
• ❌ 自由度忘记减 $m$
• ❌ 独立性用错自由度
• ❌ 忘记乘 $n$ 得到 $E$
• ✅ $\chi^2$ 检验永远右尾检验