Chi-squared Tests（卡方检验）

考纲要求

1. 理解 $\chi^2$ 检验的基本原理：比较观测频数（O）与期望频数（E）的差异
2. 拟合优度检验（Goodness of Fit）：检验一组观测数据是否来自某个指定的理论分布（Binomial、Poisson 或其他给定 PDF）
3. 独立性检验（Test for Independence）：使用列联表（contingency table）判断两个分类变量是否独立
4. 正确计算期望频数：
   • GOF：$E = n \times P(X = x)$ 或 $E = n \times \text{PDF}(x)$
   • 独立性：$E_{ij} = \dfrac{R_i \times C_j}{T}$
5. 自由度计算：
   • GOF：$\mathrm{df} = k - 1 - m$（$k$ = 类别数，$m$ = 从数据中估计的参数个数）
   • 独立性：$\mathrm{df} = (r - 1)(c - 1)$
6. 期望频数 ≥ 5 规则：任何 E < 5 的单元格必须与相邻单元格合并
7. 不要求 Yates 连续性校正（考纲明确说明不考）

常见题型

题型	识别关键词	分值占比
Binomial 拟合优度	"test whether Binomial model fits"、"expected frequencies from Binomial"	8–10 marks
Poisson 拟合优度	"test whether Poisson model fits"、"test for randomness"	8–10 marks
独立性检验	"test for association/independence"、"contingency table"	8–12 marks
给定 PDF 拟合优度	"given probability density function"、"test"	8–10 marks

核心公式

公式	说明
$\chi^2 = \sum \dfrac{(O - E)^2}{E}$	检验统计量，所有单元格求和
$E = n \times P(X = x)$	GOF 期望频数（理论分布）
$E_{ij} = \dfrac{R_i \times C_j}{T}$	独立性期望频数（$R_i$ = 行和，$C_j$ = 列和，$T$ = 总数）
$\nu = k - 1 - m$	GOF 自由度
$\nu = (r - 1)(c - 1)$	独立性自由度

常见错误

• 自由度算错：独立性检验用 $\mathrm{df} = (r-1)(c-1)$，不是 $r \times c$
• 忘记合并 E < 5 的单元格
• 参数估计后忘记减去自由度中的 $m$
• 使用 Yates 校正（考纲不要求）
• 混淆单尾/双尾：$\chi^2$ 检验总是右尾检验