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考纲总览

板块 4.1: Continuous Random Variables（连续随机变量）​

考纲点内容
4.1.1理解连续随机变量的概念，理解概率密度函数（PDF）f(x)f(x) 的性质：f(x)≥0f(x)\ge 0 且 ∫−∞∞f(x) dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1
4.1.2掌握概率的计算：P(a<X<b)=∫abf(x) dxP(a<X<b)=\int_a^b f(x)\,dx
4.1.3能够从 PDF 求出累积分布函数（CDF）F(x)=∫−∞xf(t) dtF(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt，反之亦能由 CDF 求 PDF
4.1.4能够求期望值 E(X)=∫xf(x) dxE(X)=\int xf(x)\,dx
4.1.5能够求 E(g(X))=∫g(x)f(x) dxE(g(X))=\int g(x)f(x)\,dx，包括 E(X2)E(X^2) 和方差 Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
4.1.6能够求中位数（median）mm 满足 F(m)=0.5F(m)=0.5，以及上下四分位数
4.1.7能够求众数（mode），即最大化 f(x)f(x) 的点
4.1.8理解并应用线性变换：E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b，Var⁡(aX+b)=a2Var⁡(X)\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)
4.1.9理解并在简单情形下应用 PDF 的标准化变换
4.1.10处理分段定义的 PDF 与 CDF

板块 4.2: Inference using Normal and t-Distributions（正态与 t 分布推断）​

考纲点内容
4.2.1理解参数估计：点估计与区间估计
4.2.2掌握样本均值 X‾\overline{X} 的抽样分布：X‾∼N(μ,σ2n)\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})（总体正态）或 nn 大时近似正态
4.2.3理解 t 分布的概念及与正态分布的关系（自由度越大越接近正态）
4.2.4在 σ2\sigma^2 未知时代入样本方差 s2s^2，使用 T=X‾−μs/n∼tn−1T=\frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}
4.2.5单样本 t 检验与置信区间
4.2.6双样本 t 检验（独立样本，等方差假设）：T=(X‾1−X‾2)−(μ1−μ2)sp1n1+1n2∼tn1+n2−2T=\frac{(\overline{X}_1-\overline{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}}\sim t_{n_1+n_2-2}
4.2.7合并方差 sp2=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}
4.2.8配对 t 检验（paired t-test）：T=d‾sd/n∼tn−1T=\frac{\overline{d}}{s_d/\sqrt{n}}\sim t_{n-1} 其中 dd 为配对差值
4.2.9z 检验（已知 σ2\sigma^2 或大样本）：Z=X‾−μσ/n∼N(0,1)Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)
4.2.10理解并应用单尾检验与双尾检验
4.2.11理解显著性水平（α\alpha）、pp 值、第一类错误与第二类错误
4.2.12理解检验的势（power of test）的概念

板块 4.3: Chi-squared Tests（卡方检验）​

考纲点内容
4.3.1理解 χ2\chi^2 分布的概念，掌握自由度对分布形状的影响
4.3.2拟合优度检验（goodness-of-fit test）：检验观测频数是否符合某个理论分布
4.3.3计算期望频数 EiE_i，计算检验统计量 χ2=∑(Oi−Ei)2Ei\chi^2=\sum\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}
4.3.4确定自由度：df=k−1\text{df}=k-1（kk 为类别数），或 k−1−pk-1-p（pp 为从数据估计的参数个数）
4.3.5列联表独立性检验（contingency table test of independence）：H0H_0 为两变量独立
4.3.6列联表期望频数：Eij=Ri×CjnE_{ij}=\frac{R_i\times C_j}{n}
4.3.7列联表自由度：df=(r−1)(c−1)\text{df}=(r-1)(c-1)（rr 为行数，cc 为列数）
4.3.8期望频数合并规则：若期望频数 E<5E<5 的格子超过 20%，需合并相邻类别
4.3.9期望频数合并：若超过 20% 格子 E&lt;5，合并相邻类别
4.3.10理解卡方检验的适用条件和局限性

板块 4.4: Non-parametric Tests（非参数检验）​

考纲点内容
4.4.1理解非参数检验与参数检验的区别（不依赖总体分布假设）
4.4.2符号检验（sign test）：基于正负号个数的检验
4.4.3Wilcoxon 单样本符号秩检验（signed-rank test）：考虑符号及秩
4.4.4Wilcoxon 双样本检验（Mann-Whitney U test）：比较两个独立样本
4.4.5能查非参数检验的临界值表
4.4.6在大样本下使用正态近似计算检验统计量
4.4.7理解非参数检验在数据不满足正态分布时的优势
4.4.8零值处理（ties）及打结时的修正方法

板块 4.5: Probability Generating Functions（概率生成函数）​

考纲点内容
4.5.1理解 PGF 的定义：GX(t)=E(tX)=∑xP(X=x)txG_X(t)=E(t^X)=\sum_{x}P(X=x)t^x
4.5.2能求出标准分布的 PGF：包括 Bernoulli、Binomial、Poisson、Geometric
4.5.3利用 PGF 求期望和方差：E(X)=GX′(1)E(X)=G_X'(1)，Var⁡(X)=GX′′(1)+GX′(1)−[GX′(1)]2\operatorname{Var}(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-[G_X'(1)]^2
4.5.4理解 P(X=x)=GX(x)(0)x!P(X=x)=\frac{G_X^{(x)}(0)}{x!}（在 t=0t=0 处的 xx 阶导数）
4.5.5独立随机变量之和的 PGF：GX+Y(t)=GX(t)GY(t)G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t)
4.5.6随机和（random sum）SN=X1+X2+⋯+XNS_N=X_1+X_2+\cdots+X_N 的 PGF：GSN(t)=GN(GX(t))G_{S_N}(t)=G_N(G_X(t))
4.5.7利用 PGF 求随机和的期望和方差
4.5.8应用 PGF 识别分布

Assessment Objectives（评估目标）​

AO描述权重
AO1知识理解与应用：准确回忆并应用标准统计方法与公式约 50%
AO2数学推理与论证：构建逻辑推理链，解释统计结论约 25%
AO3问题解决与建模：将实际问题转化为统计模型，选择合适方法约 25%

先修知识要求（Prior Knowledge）​

9231 Further Mathematics 以 9709（Cambridge International A Level Mathematics）为基础。Paper 4 特别依赖以下内容：

9709 试卷关联内容
Paper 1: Pure Mathematics 1基本代数、微积分（尤其是积分的计算）、函数
Paper 3: Pure Mathematics 3进一步微积分技巧（分步积分、换元法）
Paper 5: Probability & Statistics 1基本概率、离散与连续分布、期望方差、正态分布基础
Paper 6: Probability & Statistics 2泊松分布、抽样分布、假设检验初步、卡方分布初步

其中 9709 Paper 5 与 Paper 6 是最直接的先修要求，缺乏其基础将难以应对 9231 Paper 4。

常见陷阱

很多学生在 9231 Paper 4 中因为 9709 积分能力不足而失分。CRV 的 PDF/CDF 计算需要熟练的积分技巧，请在备考初期确保微积分基础扎实。