考前速通

核心公式速查

4.1 CRV

$f(x)\ge 0,\quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt, \quad f(x) = F'(x)$

$P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

$E(X) = \int x f(x)\,dx$

$E(g(X)) = \int g(x) f(x)\,dx$

$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

$F(m) = 0.5 \quad (\text{中位数})$

$f'(x) = 0 \quad (\text{众数})$

$E(aX+b) = aE(X) + b$

$\operatorname{Var}(aX+b) = a^2 \operatorname{Var}(X)$

4.2 推断

$T = \frac{\overline{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$

$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$

$T = \frac{(\overline{X}_1 - \overline{X}_2) - (\mu_1-\mu_2)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t_{n_1+n_2-2}$

$T = \frac{\overline{d}}{s_d/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} \quad (\text{配对})$

$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$

$\overline{X} \pm t_{\alpha/2,\,n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \quad (\text{CI})$

4.3 卡方

$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

$\chi^2 = \sum \frac{(|O_i - E_i| - 0.5)^2}{E_i} \quad (\text{Yates})$

$E_{ij} = \frac{R_i \times C_j}{n} \quad (\text{列联表})$

$\text{df} = k-1 \quad (\text{拟合优度}), \quad \text{df} = (r-1)(c-1) \quad (\text{列联表})$

4.4 非参数

Wilcoxon 符号秩检验统计量：

$T = \min(T^+, T^-)$

Mann-Whitney U 检验：

$U = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1$

正态近似（ $n>10$ ）：

$Z = \frac{T - \frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}}$

$Z = \frac{U - \frac{n_1 n_2}{2}}{\sqrt{\frac{n_1 n_2 (n_1+n_2+1)}{12}}}$

4.5 PGF

$G_X(t) = E(t^X) = \sum_x P(X=x)\,t^x$

$E(X) = G_X'(1)$

$E(X(X-1)) = G_X''(1)$

$\operatorname{Var}(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2$

$P(X=x) = \frac{G_X^{(x)}(0)}{x!}$

$G_{X+Y}(t) = G_X(t) \, G_Y(t) \quad (\text{独立和})$

$G_{S_N}(t) = G_N(G_X(t)) \quad (\text{随机和})$

$E(S_N) = E(N) \, E(X)$

$\operatorname{Var}(S_N) = E(N) \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(N) [E(X)]^2$

看到 X 做 Y 速查表

看到...	马上...
"probability density function"	验证 $\int f = 1$ ，检查 $f(x) \ge 0$
"cumulative distribution function"	求导得 PDF，或从 PDF 积分
"median"	设 $F(m)=0.5$ 求解 $m$
"mode"	求 $f'(x)=0$ （或分段比较）
"test the claim" / "test whether"	写出 $H_0$ , $H_1$ ，确定检验类型
"known variance"	z 检验（ $\sigma$ 已知）
"unknown variance"	t 检验（ $s$ 估计）
"paired" / "matched" / "same individuals"	配对 t 检验（差值 $d$ ）
"two independent samples"	双样本 t 检验或 Mann-Whitney
"goodness-of-fit"	卡方拟合优度检验
"contingency table" / "association"	卡方独立性检验
"Yates" / " $2 \times 2$ "	使用连续性校正
"expected frequency less than 5"	合并相邻类别
"Wilcoxon signed-rank"	单样本/配对非参数检验
"Mann-Whitney"	双样本非参数检验
"sign test"	仅看符号忽略大小
"probability generating function"	$G_X(t)=E(t^X)$
"independent sum"	$G_{X+Y}=G_X G_Y$
"random sum"	$G_{S_N}=G_N(G_X)$
"show that $X \sim \text{Poisson}$ "	证明 $G_X(t) = e^{\lambda(t-1)}$
"estimate" / "CI"	构造置信区间
"pooled estimate of variance"	$s_p^2$ 公式

时间分配表

分数段	可用时间	每分钟分值
50 分	90 分钟	1.8 分钟/分
每道 6 分题	约 10.8 分钟	—
每道 8 分题	约 14.4 分钟	—
每道 10 分题	约 18 分钟	—

卡住时的策略

情形	应对策略
完全看不懂题目	先看最后一行问什么，反向定位所需方法
计算卡住	写出公式，代入已知量，标记未知数，检查是否漏条件
公式记不清	查阅 MF19（大部分关键公式已给出）
时间不够	写出所有步骤框架（ $H_0$ , $H_1$ , 检验公式），争取 M1 方法分
$p$ 值无法查表	使用计算器直接计算（如有统计功能）
自由度不确定	回到定义：样本数减约束数

必背公式

MF19 中未给出但必须记忆的公式：

$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
$\operatorname{Var}(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2$
$G_{S_N}(t) = G_N(G_X(t))$
Yates 校正： $\frac{(|O-E|-0.5)^2}{E}$

交卷前最终检查清单

核心公式速查
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时间分配表
卡住时的策略
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4.2 推断​

4.3 卡方​

4.4 非参数​

4.5 PGF​

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时间分配表​

卡住时的策略​

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