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常见陷阱

陷阱 1：自由度总是忘记减 1​

问题描述： 在卡方拟合优度检验中，学生常将自由度写为 kk 而非 k−1k-1（或 k−1−pk-1-p）。

后果： 查表得到错误的临界值，可能导致错误拒绝 H0H_0。MS 会扣 B1。

解决方案： 时刻自问："我一共有几个类别？有没有从数据中估计参数？"

df=(类别数)−1−(估计参数个数)\text{df} = (\text{类别数}) - 1 - (\text{估计参数个数})

陷阱 2：单尾与双尾检验的选择错误​

问题描述：

  • H1:μ≠μ0H_1: \mu \neq \mu_0（双尾）与 H1:μ>μ0H_1: \mu > \mu_0（单尾）的临界值不同
  • 双尾检验在 5% 显著性水平下，每尾各 2.5%

后果： 使用了错误的临界值，导致结论错误。

题目表述H1H_1检验类型
"test if there is a difference"≠\neq双尾
"test if it has increased/greater">>单尾（上尾）
"test if it has decreased/less"<<单尾（下尾）

陷阱 3：配对数据与独立数据混淆​

问题描述： 面对配对数据（同一组人前后测、双胞胎、左右眼等）时错误使用独立双样本 t 检验而非配对 t 检验。

后果： 自由度错误（2n−22n-2 而非 n−1n-1），标准误计算错误，pp 值错误。

判断标准：

  • 配对设计：数据天然成对，两组之间不是独立的（同一人或匹配对象）
  • 独立设计：两组之间无任何关联

陷阱 4：合并方差公式记错​

问题描述： 记忆 sp2s_p^2 公式时出错，如写成 sp2=s12+s222s_p^2 = \frac{s_1^2+s_2^2}{2}。

后果： 检验统计量计算错误，失去 M1 和 A1。

解决方案： 记忆公式时注意这是加权平均，权重是自由度：

sp2=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}

陷阱 5：连续性校正忘记使用​

问题描述： 在 2×22 \times 2 列联表卡方检验中未使用 Yates 连续性校正。

后果： 卡方统计量偏大，更易拒绝 H0H_0。MS 会扣 B1。

χcorrected2=∑(∣Oi−Ei∣−0.5)2Ei\chi^2_{\text{corrected}} = \sum \frac{(|O_i - E_i| - 0.5)^2}{E_i}

常见陷阱

仅在 2×22\times 2 列联表中必须使用 Yates 校正。如果行或列数大于 2，则不需要连续性校正。

陷阱 6：期望频数小于 5 时未合并​

问题描述： 卡方检验中保留期望频数 E<5E<5 的类别未合并。

后果： χ2\chi^2 统计量不服从 χ2\chi^2 分布，检验无效。MS 会扣 M1。

解决方案：

  • 计算所有期望频数
  • 若 E<5E<5 的格子超过总格数的 20%，合并相邻类别
  • 合并后重新计算自由度和 χ2\chi^2

陷阱 7：Wilcoxon 符号秩检验中符号与秩对应错误​

问题描述： 计算 Wilcoxon 符号秩检验时，正确排序了绝对值，但将正负号赋予错误的秩。

后果： T+T^+ 和 T−T^- 计算错误，统计量错误。

解决方案：

  1. 计算差值 did_i
  2. 取绝对值 ∣di∣|d_i|
  3. 忽略符号对绝对值排序（从小到大）
  4. 将原始符号重新赋予排序后的秩
  5. 分别求和

陷阱 8：正态近似中忘记连续性校正​

问题描述： 大样本非参数检验使用正态近似时，未加 0.5 的连续性校正。

后果： ZZ 统计量偏大，可能导致错误拒绝 H0H_0。

Wilcoxon 符号秩： Z=T−n(n+1)4−0.5n(n+1)(2n+1)24Z = \frac{T - \frac{n(n+1)}{4} - 0.5}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}}

Mann-Whitney： Z=U−n1n22−0.5n1n2(n1+n2+1)12Z = \frac{U - \frac{n_1 n_2}{2} - 0.5}{\sqrt{\frac{n_1 n_2 (n_1+n_2+1)}{12}}}

（分子减 0.5 适用于 TT 或 UU 小于期望值的情况；若大于期望值则加 0.5）

陷阱 9：PGF 方差公式遗漏 GX′(1)G_X'(1)​

问题描述： 计算 Var⁡(X)\operatorname{Var}(X) 时错误地使用 GX′′(1)−[GX′(1)]2G_X''(1) - [G_X'(1)]^2。

后果： 方差计算结果错误。

正确公式： Var⁡(X)=GX′′(1)+GX′(1)−[GX′(1)]2\operatorname{Var}(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2

原因是 Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，而 E(X2)=GX′′(1)+GX′(1)E(X^2) = G_X''(1) + G_X'(1)。

陷阱 10：随机和公式错用为独立和​

问题描述： 面对随机和 SN=X1+X2+⋯+XNS_N = X_1 + X_2 + \cdots + X_N（NN 是随机变量），使用 GSN(t)=[GX(t)]NG_{S_N}(t) = [G_X(t)]^{N}，而非 GSN(t)=GN(GX(t))G_{S_N}(t) = G_N(G_X(t))。

后果： 整个 PGF 错误，后续求期望方差全错。

区分记忆：

  • 独立和（固定个数 nn）：GX1+⋯+Xn(t)=[GX(t)]nG_{X_1+\cdots+X_n}(t) = [G_X(t)]^n
  • 随机和（个数 NN 随机）：GSN(t)=GN(GX(t))G_{S_N}(t) = G_N(G_X(t))

陷阱 11：CRV 分段函数积分限错误​

问题描述： PDF 为分段函数，求期望或概率时漏掉某一段的积分或用了错误的积分限。

后果： 计算错误，失去 A1。

解决方案：

  1. 画出 PDF 的定义域示意
  2. 分段积分时清晰标出每段的积分区间
  3. 最后求和

陷阱 12：置信区间误解为 "95% probability"​

问题描述： 将 95% 置信区间解释为 "总体参数有 95% 的概率落在该区间内"。

后果： 统计学概念错误，在 MS 中会扣解释分。

正确解释： "如果重复抽样多次，每次构造一个 CI，约 95% 的 CI 会包含真实的总体参数。"（置信水平是针对方法而言的，不是针对参数）

陷阱 13：pp 值含义误解​

问题描述： 认为 pp 值是 H0H_0 为真的概率。

后果： 统计概念错误。

正确解释： pp 值是在 H0H_0 成立的假设下，观察到当前或更极端结果的概率。pp 值越小，证据越强地支持拒绝 H0H_0。

陷阱 14：符号检验中零差值的处理​

问题描述： 符号检验中有零差值（差值 = 0）时，将其计入样本量。

后果： 样本量偏大，临界值可能错误。

正确做法： 零差值从样本中剔除，仅对非零差值计算正负号个数。样本量 nn 仅计非零差值个数。

陷阱 15：CDF 在边界点的值​

问题描述： 写 CDF 时忘记 F(x)=0F(x) = 0 当 xx 小于定义域下界，F(x)=1F(x) = 1 当 xx 大于定义域上界。

正确 CDF 写法：

0 & x < 0 \\ x^2 & 0 \le x \le 1 \\ 1 & x > 1 \end{cases}$$ ## 陷阱 16：PGF 求 $P(X=x)$ 时忘记除以 $x!$ $$P(X=x) = \frac{G_X^{(x)}(0)}{x!} \quad \text{而不是} \quad G_X^{(x)}(0)$$ ## 陷阱 17：列联表期望频数行列搞反 $$E_{ij} = \frac{R_i \times C_j}{n}$$ 注意 $R_i$ 是**第 $i$ 行的合计**，$C_j$ 是**第 $j$ 列的合计**。行列位置不要颠倒。 ## 陷阱 18：$t$ 检验假设条件未检查 t 检验的前提条件： - 数据近似正态分布（小样本时尤为重要） - 样本相互独立 - 双样本 t 检验还要求两总体方差相等（方差齐性） 若不满足，应考虑非参数检验。