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常见错误

4.1 CRV​

错误 1：忘记验证 PDF​

致命错误

错误写法： f(x)={2x0<x<10otherwisef(x)=\begin{cases}2x & 0<x<1\\0 & \text{otherwise}\end{cases} 直接开始算 E(X)E(X) 而没有先验证 ∫f=1\int f=1。

后果： 若题目给的 PDF 未归一化（∫f≠1\int f \neq 1），后续所有计算全错，失去 M1 方法分。

正确做法： 第一步永远先验证 ∫−∞∞f(x) dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1。若不等于 1，需先求归一化常数 kk：

∫01kx dx=1  ⟹  k=2\int_0^1 kx\,dx = 1 \implies k=2

错误 2：CDF 与 PDF 混淆​

错误写法： F(x)=∫x∞f(t) dtF(x) = \int_x^{\infty} f(t)\,dt

正确写法： F(x)=∫−∞xf(t) dtF(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt

注意积分下限是 −∞-\infty（或 PDF 定义域的左端点），上限是 xx。

错误 3：中位数与期望值混淆​

m=∫xf(x) dx错！m = \int xf(x)\,dx \quad \textbf{错！}

m 满足 F(m)=0.5对！m \text{ 满足 } F(m)=0.5 \quad \textbf{对！}

E(X)=∫xf(x) dx对！E(X) = \int xf(x)\,dx \quad \textbf{对！}

4.2 推断​

错误 4：t 检验误用 z 检验​

错误写法： 在总体方差 σ2\sigma^2 未知时使用 Z=X‾−μσ/nZ=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}。

正确做法： σ2\sigma^2 未知时，用样本标准差 ss 替代，使用 t 分布：

T=X‾−μs/n∼tn−1T = \frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}

错误 5：双样本 t 检验中合并方差错误​

sp2=s12+s222错！s_p^2 = \frac{s_1^2 + s_2^2}{2} \quad \textbf{错！}

sp2=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2对！s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \quad \textbf{对！}

错误 6：配对 t 检验与双样本 t 检验混淆​

致命错误

错误做法： 对配对数据（同一组人前后测量、双胞胎数据）使用双样本独立 t 检验。

后果： 自由度错误，导致结论可能完全相反。

正确做法： 先判断是否为配对设计：

  • 配对条件：同组个体接受两种处理，或自然配对（双胞胎、同一对象前后测）
  • 配对 t 检验使用差值 dd，自由度 n−1n-1

错误 7：单尾双尾判断错误​

错误写法： 题目问 "test whether there is a difference" 却使用单尾检验。

题目表述检验类型
"test whether there is a difference"双尾
"test whether it is greater than / less than"单尾
"test whether it has increased / decreased"单尾

4.3 卡方​

错误 8：自由度计算错误​

检验类型正确自由度常见错误
拟合优度（已知分布完全指定）k−1k-1忘记减 1
拟合优度（从数据估计 pp 个参数）k−1−pk-1-p忘记减 pp
r×cr\times c 列联表(r−1)(c−1)(r-1)(c-1)写成 rc−1rc-1

错误 9：忘记合并期望频数 < 5 的类别​

致命错误

错误做法： 保留所有原始类别，即使有多个格子的期望频数 E<5E < 5。

后果： 卡方统计量不符合 χ2\chi^2 分布，结论不可靠。MS 会扣 M1 分。

正确做法： 若期望频数 E<5E<5 的格子超过 20%，将相邻类别合并。合并后重新计算自由度。

错误 10：2×22\times2 表忘记 Yates 校正​

对于 2×22\times2 列联表，必须使用 Yates 连续性校正：

χ2=∑(∣Oi−Ei∣−0.5)2Ei\chi^2 = \sum \frac{(|O_i - E_i| - 0.5)^2}{E_i}

不使用校正会导致卡方统计量偏大，更容易错误地拒绝 H0H_0。

错误 11：期望频数计算错误​

在列联表中：

Eij=行合计i×列合计j总计E_{ij} = \frac{\text{行合计}_i \times \text{列合计}_j}{\text{总计}}

而非简单平均或等分。

4.4 非参数​

错误 12：符号检验中忽视零差值​

错误写法： 零差值直接忽略，不调整样本量 nn。

正确做法： 零差值从样本中剔除，nn 仅计数非零差值个数。

错误 13：Wilcoxon 符号秩检验忽略绝对值排序​

正确做法步骤：

  1. 计算差值 did_i
  2. 取绝对值 ∣di∣|d_i|
  3. 对 ∣di∣|d_i| 排序（从小到大）
  4. 将原始符号（正/负）赋予秩
  5. T+=正秩和T^+ = \text{正秩和}，T−=负秩和T^- = \text{负秩和}
  6. 检验统计量 T=min⁡(T+,T−)T = \min(T^+, T^-)

错误 14：Mann-Whitney 检验中秩计算错误​

对两个样本合并排序时，注意打结（ties）的处理：相同值取平均秩。

错误 15：大样本下正态近似未使用连续性校正​

非参数检验的正态近似常需连续性校正：

Z=T−n(n+1)4−0.5n(n+1)(2n+1)24Z = \frac{T - \frac{n(n+1)}{4} - 0.5}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}}

（分子中减去 0.5 为连续性校正）

4.5 PGF​

错误 16：PGF 定义混淆​

GX(t)=E(etX)错！这是 MGF！G_X(t) = E(e^{tX}) \quad \textbf{错！这是 MGF！}

GX(t)=E(tX)对！G_X(t) = E(t^X) \quad \textbf{对！}

错误 17：求方差公式忘记 GX′(1)G_X'(1) 项​

E(X)=GX′(1)E(X) = G_X'(1)

E(X(X−1))=GX′′(1)E(X(X-1)) = G_X''(1)

Var⁡(X)=GX′′(1)+GX′(1)−[GX′(1)]2\operatorname{Var}(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2

很多学生只写了 GX′′(1)−[GX′(1)]2G_X''(1) - [G_X'(1)]^2，忘记加上 GX′(1)G_X'(1)。

错误 18：随机和公式张冠李戴​

GSN(t)=[GX(t)]N错！G_{S_N}(t) = [G_X(t)]^N \quad \textbf{错！}

GSN(t)=GN(GX(t))对！G_{S_N}(t) = G_N(G_X(t)) \quad \textbf{对！}

其中 SN=X1+X2+⋯+XNS_N = X_1 + X_2 + \cdots + X_N，NN 本身是随机变量。

错误 19：求 P(X=x)P(X=x) 时梯度公式错误​

P(X=x)=GX(x)(0)x!P(X=x) = \frac{G_X^{(x)}(0)}{x!}

注意分母是 x!x!，不是 xx。

错误 20：独立和与随机和混淆​

情形PGF适用条件
X+YX+Y（两个独立变量相加）GX(t)GY(t)G_X(t)G_Y(t)固定个数
SN=X1+⋯+XNS_N = X_1+\cdots+X_NGN(GX(t))G_N(G_X(t))个数随机

不是 [GX(t)]N[G_X(t)]^N —— 当 NN 为随机变量时，PGF 必须是复合函数形式 GN(GX(t))G_N(G_X(t))。