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9231 Further Mathematics Paper 4

Further Probability & Statistics（进阶概率与统计），是 CIE 9231 Further Mathematics 的第四张试卷。本指南涵盖全部考纲内容，提供题型解析、答题策略与常见陷阱预警。

试卷总览​

项目内容
试卷代码9231/4
名称Further Probability & Statistics（进阶概率与统计）
时长1 小时 30 分钟
总分50 分
题量6–7 道必答题
计算器允许使用科学计算器（图形计算器不可用）
公式表MF19
题型全部为结构化长题（long structured questions）

知识板块总览​

#板块中文典型题型
4.1Continuous Random Variables连续随机变量CDF/PDF 互求、期望方差、中位数众数、P(a<X<b)P(a<X<b)
4.2Inference using Normal & t-Distributions正态与 t 分布推断t 检验（单样本/双样本/配对）、CI、z 检验
4.3Chi-squared Tests卡方检验拟合优度检验、列联表独立性检验
4.4Non-parametric Tests非参数检验Wilcoxon 符号秩检验、Mann-Whitney 检验、符号检验
4.5Probability Generating Functions概率生成函数PGF 求法、求均值方差、独立和与随机和

四轮应试策略​

第一轮：5 分钟浏览（通读全卷）​

  • 快速翻看全部 6–7 道题
  • 标记：Bold = 有把握的题目，中等 = 需要思考的题目，跨过 = 不熟悉的题目
  • 确认每题考查的知识板块
  • 检查公式表 MF19 是否有对应公式可用

第二轮：先做简单题（约 25 分钟）​

  • 先做标记为 Bold 的题目
  • 保证基础分全部拿到
  • 每题计算后立即检查一遍算术

第三轮：攻克中等题（约 35 分钟）​

  • 处理标记为 中等 的题目
  • 遇到卡顿 2 分钟以上先跳过
  • 写出所有分部步骤以获取 M1 方法分

第四轮：最后检查（约 25 分钟）​

  • 先做标记为 跨过 的题目中能拿到部分分数的
  • 检查：自由度、单尾/双尾、配对/独立、连续性校正、期望频数合并
  • 确保所有数值合理（概率在 0–1 之间，方差非负等）

Revision Checklist​

板块知识点掌握程度
CRVPDF 验证（∫f(x) dx=1\int f(x)\,dx=1）⬜
CRVCDF 求法 F(x)=∫−∞xf(t) dtF(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt⬜
CRVE(X)=∫xf(x) dxE(X)=\int xf(x)\,dx⬜
CRVE(X2)E(X^2) 及 Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)⬜
CRV中位数 mm 满足 F(m)=0.5F(m)=0.5⬜
CRV众数（mode）求法⬜
CRVP(a<X<b)=F(b)−F(a)P(a<X<b)=F(b)-F(a)⬜
CRV线性变换 E(aX+b)E(aX+b) 与 Var⁡(aX+b)\operatorname{Var}(aX+b)⬜
推断单样本 t 检验⬜
推断双样本 t 检验（等方差/不等方差）⬜
推断配对 t 检验⬜
推断z 检验（已知总体方差）⬜
推断置信区间构造⬜
推断合并方差 sp2s_p^2⬜
卡方拟合优度检验⬜
卡方列联表独立性检验⬜
卡方期望频数合并规则⬜
卡方Yates 连续性校正⬜
非参数Wilcoxon 单样本符号秩检验⬜
非参数Wilcoxon 双样本（Mann-Whitney）检验⬜
非参数符号检验（sign test）⬜
非参数正态近似⬜
PGFGX(t)=E(tX)G_X(t)=E(t^X)⬜
PGFGX′(1)=E(X)G_X'(1)=E(X), GX′′(1)=E(X(X−1))G_X''(1)=E(X(X-1))⬜
PGF独立和：GX+Y(t)=GX(t)GY(t)G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t)⬜
PGF随机和：GSN(t)=GN(GX(t))G_{S_N}(t)=G_N(G_X(t))⬜