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Syllabus Points — Linear Motion Under Variable Force

核心知识点​

1. Newton 第二定律的微分形式​

  • F=ma=mdvdtF = ma = m\frac{dv}{dt}
  • F=md2xdt2F = m\frac{d^2x}{dt^2}
  • a=vdvdxa = v\frac{dv}{dx}

2. 常见的力模型​

  • 阻力正比于速度：阻力=kv\text{阻力} = kv
  • 阻力正比于速度平方：阻力=kv2\text{阻力} = kv^2
  • 回复力 F=−kxF = -kx（简谐运动前兆）
  • 与位置有关的力 F=F(x)F = F(x)
  • 与速度有关的力 F=F(v)F = F(v)

3. 微分方程求解方法​

  • 分离变量法
  • 一阶线性微分方程
  • 初始条件确定积分常数

4. 常见求解目标​

  • 速度作为时间函数 v(t)v(t)
  • 位移作为时间函数 x(t)x(t)
  • 速度作为位移函数 v(x)v(x)
  • 极限速度（terminal velocity）