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Solution Methods — Linear Motion Under Variable Force

方法一：直接积分法 a=dv/dta = dv/dt​

适用于力是时间函数或速度函数。

Steps
  1. 写出 mdvdt=F(v)m\frac{dv}{dt} = F(v)
  2. 分离变量：∫mF(v)dv=∫dt\int \frac{m}{F(v)} dv = \int dt
  3. 积分，代入初始条件 v(0)=v0v(0) = v_0
  4. 解得 v(t)v(t)
  5. 再积分得 x(t)=∫v(t)dtx(t) = \int v(t) dt

方法二：位移作为变量 a=vdv/dxa = v dv/dx​

适用于求速度与位移的关系。

Steps
  1. 用 F=mvdvdxF = mv\frac{dv}{dx}
  2. 分离变量：∫mvdv=∫F(x)dx\int mv dv = \int F(x) dx
  3. 积分得 12mv2\frac{1}{2}mv^2 的表达式
  4. 代入初始条件
  5. 解得 v(x)v(x)

方法三：空气阻力 kvkv​

适用于阻力正比于速度。

Steps
  1. mdvdt=mg−kvm\frac{dv}{dt} = mg - kv（下落）
  2. 分离变量：∫mmg−kvdv=∫dt\int \frac{m}{mg - kv} dv = \int dt
  3. 积分得 v(t)=mgk(1−e−kt/m)v(t) = \frac{mg}{k}(1 - e^{-kt/m})
  4. 极限速度 vT=mg/kv_T = mg/k
  5. 再积分得 x(t)x(t)

方法四：空气阻力 kv2kv^2​

适用于阻力正比于速度平方。

Steps
  1. mdvdt=mg−kv2m\frac{dv}{dt} = mg - kv^2
  2. 分离变量：∫mmg−kv2dv=∫dt\int \frac{m}{mg - kv^2} dv = \int dt
  3. 用部分分式或反双曲正切积分
  4. 极限速度 vT=mg/kv_T = \sqrt{mg/k}
  5. 也可用 vdvdxv\frac{dv}{dx} 形式求 v(x)v(x)