Linear Motion Under Variable Force（变力直线运动）

考纲要求

• 建立和求解运动微分方程
• 使用 $a = \frac{dv}{dt}$、$a = v\frac{dv}{dx}$、$a = \frac{d^2x}{dt^2}$
• 处理空气阻力 $kv$ 或 $kv^2$ 形式
• 求时间、速度、位移的关系

核心公式

公式	说明
$F = ma = m\frac{dv}{dt}$	Newton 第二定律
$a = v\frac{dv}{dx}$	加速度作为速度对位移的导数
$F = m\frac{d^2x}{dt^2}$	二阶微分方程
$\text{阻力} = kv$ 或 $kv^2$	空气阻力形式

常见问题类型

1. 建立微分方程并求解 $v(t)$
2. 求解 $v(x)$ 或 $x(t)$
3. 包含空气阻力的运动
4. 变力做功与能量关系

解题步骤

1. 写出 $F = ma$，注意方向
2. 选择合适的形式（$dv/dt$ 或 $v dv/dx$）
3. 分离变量
4. 积分，代入初始条件
5. 解出目标变量