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Solution Methods — Circular Motion

方法一：水平圆周运动​

适用于圆锥摆、倾斜轨道。

Steps
  1. 确定圆周半径 rr
    • 圆锥摆：r=Lsin⁡θr = L\sin\theta
    • 轨道：rr 已知
  2. 列出向心力方程 F=mv2r=mrω2F = m\frac{v^2}{r} = mr\omega^2
  3. 竖直方向平衡（或合力提供向心力分量）
  4. 联立求解

方法二：竖直圆周运动​

适用于粒子在竖直圆环或摆线中运动。

Steps
  1. 确定所给点的位置（角度或高度）
  2. 用能量守恒求该点速度： 12mvA2+mghA=12mvB2+mghB\frac{1}{2}mv_A^2 + mgh_A = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgh_B
  3. 列向心力方程：向心力 == 各力径向分量之和
  4. 求解张力或反力

方法三：最小速度/完成圆周条件​

适用于判断粒子能否完成竖直圆周。

Steps
  1. 最高点：mg+T=mv2rmg + T = m\frac{v^2}{r}
  2. 临界条件：T=0T = 0（绳子松弛前瞬间）
  3. 代入得 vmin⁡=grv_{\min} = \sqrt{gr}
  4. 结合能量守恒求起点所需速度： v起点2=v最高点2+4grv_{\text{起点}}^2 = v_{\text{最高点}}^2 + 4gr

方法四：变速率竖直圆周​

适用于速度变化导致向心力变化的问题。

Steps
  1. 写能量守恒找出速度与角度的关系
  2. 向心力方程：T−mgcos⁡θ=mv2rT - mg\cos\theta = m\frac{v^2}{r}
  3. 其中 θ\theta 从竖直向下起算
  4. 代入 v2v^2 表达式求 T(θ)T(\theta)