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Systems of Linear Equations 解题方法

Method 1: 判断唯一解​

步骤：

  1. 写出系数矩阵 AA
  2. 计算 det⁡A\det A
  3. det⁡A≠0\det A \neq 0 → 唯一解
  4. det⁡A=0\det A = 0 → 无唯一解（继续判断相容性）

注意：

  • 3×33 \times 3 行列式按第一行展开
  • 展开时注意符号：a11C11−a12C12+a13C13a_{11}C_{11} - a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}

Method 2: 判断相容性（Gaussian Elimination）​

步骤：

  1. 写出增广矩阵 (A∣b)(A|\mathbf{b})
  2. 通过行变换化为行阶梯形
  3. 检查是否有矛盾方程

行变换技巧：

  • 先用第一行消去第二、三行的第一个变量
  • 再用新的第二行消去第三行的第二个变量
  • 若某行全为零，则降秩

矛盾判断：

  • 形如 0=c0 = c（c≠0c \neq 0）→ 矛盾，无解
  • 没有矛盾且 rank = 变量数 → 唯一解
  • 没有矛盾且 rank < 变量数 → 无穷多解

Method 3: 参数化解​

步骤：

  1. 行变换得到行阶梯形
  2. 确定自由变量（秩 < 变量数时）
  3. 设自由变量为参数（如 tt, ss）
  4. 回代得到其余变量

示例：

阶梯形为：

{x+y+z=1y−z=20=0\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y - z = 2 \\ 0 = 0 \end{cases}

设 z=tz = t，则 y=2+ty = 2 + t，x=1−(2+t)−t=−1−2tx = 1 - (2 + t) - t = -1 - 2t。

解集为 (xyz)=(−120)+t(−211)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}。

Method 4: 几何解释​

判断流程：

关键判断：

  • 三个平面两两相交，交线平行 → 三棱柱（triangular prism）
  • 其中一个方程与其他两个矛盾 → 某两平面平行
  • 三平面重合 → 实际上只有一个独立方程