Systems of Linear Equations 评分标准规律

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题型 1：行列式条件（2–5 分）

步骤	分值	评分标准
写出系数矩阵	B1	或直接写行列式
正确写出 $\det A$	M1	方法分
展开行列式	M1	方法分：展开过程正确
化简得到参数方程	A1	答案分
写出参数条件	A1	答案分：如 $a = \frac{3}{2}$ 或 $a \neq -\frac{1}{2}$

典型模式：

• s20/21 Q8(a)：求 $a$ 使得无唯一解（齐次）→ M1, M1, A1
• s21/21 Q1(a)：求 $a$ 使得有唯一解 → M1, M1, A1, A1
• w20/21 Q3(a)：证明无唯一解 → M1, A1

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题型 2：相容性判断（3–4 分）

步骤	分值	评分标准
写出增广矩阵	M1	方法分
行变换	M1	方法分：至少一步变换正确
得到参数条件	M1	方法分：从变换得出条件
判断相容/矛盾	A1	答案分

典型模式：

• w23/21 Q1：矛盾参数值 → M1, M1, M1, A1
• w22/22 Q1(b)：判断相容性 → M1, A1

注意：当问题分两问时，第一问唯一解往往只需要 $\det A = 0$，第二问增广矩阵需要进一步判断相容性。

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题型 3：几何解释（2–3 分）

几何情形	分值	关键描述词
唯一解 → 三平面交于一点	B1	"meet at a point"
无穷多解 → 三平面交于一条直线	B1	"meet in a line" / "common line"
矛盾无解 → 三棱柱	B1	"triangular prism" / "no common point"
矛盾无解 → 两平面平行	B1	"two planes are parallel"

典型模式：

• w20/21 Q3(b)：$k = -4$ 相容，无穷多解 → B1 相容 + B1 交于一条直线 + B1 三平面
• w20/21 Q3(c)：$k = -2$ 矛盾 → B1 矛盾 + B1 三棱柱
• w20/21 Q3(d)：三棱柱解释 → B1 两两相交 + B1 交线平行

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常见评分规则

1. 行列式计算：$\det A$ 展开过程即使最后化简出错，仍给 M1
2. 行变换：每一步正确的行变换给 M1（可给多个）
3. 几何描述：只用关键词即可得分，不需要长篇解释
4. 参数表达：参数化解中参数符号是否使用 $t$ 不重要，但必须指明参数

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近年分值分布

年份	题号	分值	题型
w20/21	Q3	2+3+2+2	综合（行列式 + 相容性 + 几何）
s20/21	Q8(a)	3	唯一解条件
s21/21	Q1	4+1	行列式 + 求解
w22/22	Q1	3+2	行列式 + 相容性
w23/21	Q1	4	矛盾参数