跳到主要内容

Systems of Linear Equations 考前速览

核心判断流程​

det A ≠ 0 ─→ 唯一解（三平面交于一点）
            ┌ 相容（无穷多解）→ 三平面交于一条直线
det A = 0 ─┤
            └ 矛盾（无解）→ 三棱柱 / 两平面平行

关键结论​

条件结果
det⁡A≠0\det A \neq 0唯一解
det⁡A=0\det A = 0 + 相容无穷多解
det⁡A=0\det A = 0 + 矛盾无解
齐次 + det⁡A≠0\det A \neq 0仅有零解
齐次 + det⁡A=0\det A = 0非零解存在

解题步骤​

1. 判断唯一解​

  • 计算 det⁡A\det A
  • 若含参数，令 det⁡A=0\det A = 0 解出参数值

2. 判断相容性（当 det⁡A=0\det A = 0）​

  • 增广矩阵 → 行变换 → 行阶梯形
  • 检查 0=c0 = c（c≠0c \neq 0）→ 矛盾

3. 几何解释​

  • 唯一解 → 交于一点
  • 无穷多解 → 交于一条直线
  • 矛盾 → 三棱柱或两平面平行

检查清单​

  • det⁡A\det A 计算是否检查了符号（+−++ - +）？
  • det⁡A=0\det A = 0 后是否进一步判断了相容性？
  • 增广矩阵行变换是否处理了右侧常数？
  • 几何解释中是否区分了"交于一条直线"和"三棱柱"？
  • 齐次方程组是否考虑了平凡解？
  • 参数化解是否代回验证了？

必须记住​

det⁡A=0\det A = 0 不一定无解——可能无穷多解。

行变换是为了找矛盾—— 0=c0 = c（c≠0c \neq 0）即无解。

三棱柱不是三个平面交于一条直线，而是两两交于平行线。