Systems of Linear Equations 常见错误

1. 混淆 $\det A = 0$ 的含义

错误：认为 $\det A = 0$ 就是无解。

正确： $\det A = 0$ 仅表示无唯一解。可能有两种情况：

需要进一步行变换判断。

错误：对 $\det A \neq 0$ 的齐次方程组，说"无解"。

正确：齐次方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 至少有一个解： $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ （平凡解）。

错误：展开 $3 \times 3$ 行列式时，第二项的符号应为负但用了正。

正确：

\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}

错误：只对系数矩阵行变换，忘记处理 $\mathbf{b}$ 。

正确：增广矩阵 $(A|\mathbf{b})$ 右侧的常数项必须一起变换。

错误：只消去了第一列，没有继续消去第二列。

正确：必须化为完整的行阶梯形才能判断相容性。

错误：回代时符号弄反。

检查：代入原方程验证。

常见混淆：