Syllabus Points — Second Order Differential Equations

核心知识点

1. 常系数齐次线性 ODE

• $a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0$
• 辅助方程 $am^2 + bm + c = 0$
• 三种解的形式依赖判别式 $b^2 - 4ac$

2. 非齐次线性 ODE

• 通解 = CF + PI
• 待定系数法求 PI 时，试设形式需与 CF 不冲突
• 若冲突则乘以 $x$（或 $x^2$）

3. 待定系数法速查

$f(x)$	PI 试设	条件
$k$（常数）	$C$	除非 $c = 0$
$kx$	$Cx + D$
$kx^2$	$Cx^2 + Dx + E$
$ke^{\lambda x}$	$Ce^{\lambda x}$	$\lambda$ 非特征根
$k\cos\omega x$	$C\cos\omega x + D\sin\omega x$
$k\sin\omega x$	$C\cos\omega x + D\sin\omega x$

4. Euler-Cauchy 方程

• 形式：$at^2\frac{d^2y}{dt^2} + bt\frac{dy}{dt} + cy = f(t)$
• 解法一：设 $y = t^m$ 代入齐次部分
• 解法二：变量代换 $t = e^u$ 化为常系数

5. Euler-Cauchy 的三种 CF 形式

根的情况	CF
两实根 $m_1 \neq m_2$	$At^{m_1} + Bt^{m_2}$
重根 $m$	$(A + B\ln t)t^m$
复根 $m = \alpha \pm i\beta$	$t^\alpha(A\cos(\beta\ln t) + B\sin(\beta\ln t))$

6. 耦合方程组与矩阵

• $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}$ 形式
• 特征值和特征向量确定解的形式
• $\mathbf{x} = \sum c_i \mathbf{v}_i e^{\lambda_i t}$