Mark Scheme Patterns — Second Order Differential Equations

典型给分点分布

步骤	标记	说明
辅助方程正确	M1	$am^2 + bm + c = 0$
特征根正确	A1	包括实根、重根、复根
CF 形式正确	A1	与根的类型对应
PI 试设合理	M1	与 RHS 形式匹配
代入比较系数	M1	代入方程化简
系数值正确	A1	$\alpha, \beta, \gamma$ 等
PI 正确写出	A1	完整形式
通解 = CF + PI	A1	合并
初值代入	M1	使用 $y(x_0)$ 和 $y'(x_0)$
常数正确	A1	$A$ 和 $B$ 的值

常见给分模式

常系数题型（6-11 分）

M1 (AE) → A1 (根) → A1 (CF) → M1 (PI 试设) → M1 (代入比较) → A1 (系数) → A1 (PI) → A1 (通解) → 如需初值则加 M1 A1

6 分小题模式

• AE + 根：2 分
• CF：1 分
• PI 过程：2 分
• 最终通解：1 分

Euler-Cauchy 题型（4+7 分）

• (a) 变换 + 推导 4 分：M1 M1 A1 A1
• (b) 求解 7 分：AE M1 → 根 A1 → CF A1 → PI M1 A1 → 通解 A1 → 代回 A1

11 分大题的常见分布

• 齐次部分（AE + CF）：3 分
• 特解 PI：5 分
• 通解：1 分
• 初值条件：2 分

评分陷阱

• PI 与 CF 冲突未乘 $x$ 通常扣 3 分以上（M1 + A1 + A1）
• CF 写错常数形式（如重根漏 $x$）扣 A1
• 代入初值时，$y'(x_0)$ 忘记先对通解求导扣 M1