考前速记 — Second Order Differential Equations

核心公式

情形	CF 形式
实根 $m_1 \neq m_2$	$Ae^{m_1x} + Be^{m_2x}$
重根 $m$	$(A + Bx)e^{mx}$
复根 $\alpha \pm i\beta$	$e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$

PI 试设速查

$f(x)$	试设 $y_p$
$k$	$C$
$ax + b$	$Cx + D$
$ax^2 + bx + c$	$Cx^2 + Dx + E$
$ke^{\lambda x}$	$Ce^{\lambda x}$
$k\cos\omega x$	$C\cos\omega x + D\sin\omega x$
$k\sin\omega x$	$C\cos\omega x + D\sin\omega x$

Euler-Cauchy 方程

标准形式：$at^2y'' + bty' + cy = f(t)$

根的情况	CF
实根 $m_1 \neq m_2$	$At^{m_1} + Bt^{m_2}$
重根 $m$	$(A + B\ln t)t^m$
复根 $\alpha \pm i\beta$	$t^\alpha(A\cos(\beta\ln t) + B\sin(\beta\ln t))$

变量代换：$t = e^u$，则 $t\frac{d}{dt} = \frac{d}{du}$，$t^2\frac{d^2}{dt^2} = \frac{d^2}{du^2} - \frac{d}{du}$

易错点

• 重根 CF 必须乘 $x$（或 $\ln t$）
• PI 冲突时乘 $x$（或 $x^2$）
• 三角 RHS 的 PI 必须含 $\cos + \sin$
• 初值代入时需要两个条件：$y$ 和 $y'$

解题流程

1. 写 AE → 2. 求根 → 3. 写 CF → 4. 试设 PI → 5. 代入比较系数 → 6. 通解 = CF + PI → 7. 代入初值