常见错误 — Second Order Differential Equations

错误 1：辅助方程漏 $= 0$

错误：写出 $am^2 + bm + c$ 但没有 $= 0$ 。

正解：辅助方程必须等于 $0$ ，即 $am^2 + bm + c = 0$ 。

错误：重根 $m$ 时写 $CF = Ae^{mx} + Be^{mx}$ 或 $Ae^{mx} + Be^{mx}$ 。

正解：重根时必须乘 $x$ ： $CF = (A + Bx)e^{mx}$ 。

错误： $m = \alpha \pm i\beta$ 写成 $Ae^{\alpha x}\cos\beta x + Be^{\alpha x}\sin\beta x$ 不含括号。

正解： $CF = e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$ ，或明确写出两项。

注意：有时写成 $Ae^{\alpha x}\cos\beta x + Be^{\alpha x}\sin\beta x$ 也算对，但要统一。

错误：解 $y'' - 3y' + 2y = e^x$ 时设 $y_p = Ce^x$ ，但 CF 中已有 $Ae^x$ 。

正解：冲突时试设 $y_p = Cxe^x$ 。若仍冲突（重根），乘 $x^2$ 。

错误：对 $f(x) = 3\cos 2x$ 只设 $y_p = C\cos 2x$ ，漏 $\sin 2x$ 项。

正解：正/余弦 RHS 必须同时包含 $\cos$ 和 $\sin$ 项： $y_p = C\cos\omega x + D\sin\omega x$ 。

错误：代入 $y'(x_0) = y_0'$ 时直接用通解，未对通解求导。

正解：先对通解 $y = y_c + y_p$ 求导得 $y'$ ，再代入 $x = x_0$ 。

错误：使用 $t = e^u$ 变换后，忘记将 $y$ 也视为 $u$ 的函数，混合使用 $t$ 和 $u$ 。

正解：统一使用新变量 $u$ ，求出 $y(u)$ 后再将 $u = \ln t$ 代回。

错误：对 $f(x) = 3x^2 + 30x$ ，设 $y_p = \alpha x^2 + \beta x$ ，漏常数项。

正解：多项式 PI 应包括所有降幂项： $\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ 。

错误：特征值求错或特征向量方向搞反。

正解：验算 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ 是否成立。