Second Order Differential Equations（二阶微分方程）

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考纲要求

1. 掌握常系数二阶线性 ODE：$a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x)$
2. 会解齐次方程（辅助方程法），处理实根、重根、复根三种情形
3. 会用待定系数法求特解（PI）
4. 理解通解 = CF + PI 的结构
5. 能用初始条件确定特解中的常数
6. 掌握 Euler-Cauchy 型方程通过变量代换化为常系数方程的方法
7. （拓展）了解耦合方程组与矩阵的联系

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常见题型

题型	分值	链接
常系数 ODE（多项式 RHS）	6–7 分	题型 1
常系数 ODE（正/余弦 RHS）	11 分	题型 1
常系数 ODE（指数 RHS）	6–10 分	题型 1
Euler-Cauchy 方程	4+7 分	题型 2
耦合系统（矩阵法）	10–15 分	题型 3

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核心公式

辅助方程（Auxiliary Equation）

$$a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0 \;\Rightarrow\; am^2 + bm + c = 0$$

齐次解 CF 的三种形式

根的情况	CF
两实根 $m_1 \neq m_2$	$Ae^{m_1x} + Be^{m_2x}$
重根 $m_1 = m_2$	$(A + Bx)e^{m_1x}$
复根 $m = \alpha \pm i\beta$	$e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$

特解 PI 的形式（待定系数法）

$f(x)$ 形式	PI 试设形式
多项式 $p_n(x)$	$a_nx^n + \cdots + a_0$
$ke^{\lambda x}$	$Ce^{\lambda x}$（若 $\lambda$ 非根）
$k\cos\omega x$ 或 $k\sin\omega x$	$C\cos\omega x + D\sin\omega x$
乘积形式	按乘积试设

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常见错误

• 辅助方程忘设 $= 0$
• 重根情况的 CF 形式写错（漏 $x$ 因子）
• PI 试设形式与 CF 冲突时未乘 $x$
• 初值条件求解常数时代入出错
• Euler-Cauchy 代换后混淆自变量

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真题分布

年份	题号	分值	题型
w20/21	Q2	6+1	常系数（多项式 RHS）
s21/21	Q2	6+1	常系数（多项式 RHS）
s20/21	Q7	4+7	Euler-Cauchy
s20/23	Q1	6	常系数（指数 RHS）
w20/22	Q6	11	常系数（余弦 RHS）
s25/21	Q5	10	常系数（指数 RHS）