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Riemann Sums — Solution Methods

Method 1: Upper and Lower Bounds​

步骤框架​

  1. 分割区间 [a,b][a,b] 为 nn 等份，Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n}
  2. 判断单调性：f(x)f(x) 在区间上是递增还是递减？
  3. 确定端点：
    • 递增函数：上界 = 右端点，下界 = 左端点
    • 递减函数：上界 = 左端点，下界 = 右端点
  4. 求和：∑f(xi)Δx\sum f(x_i)\Delta x
  5. 化简：使用求和公式

快速判断表​

函数类型上界 (Upper)下界 (Lower)
递增 (f' > 0)右端点左端点
递减 (f' < 0)左端点右端点
示例

f(x)=x2f(x) = x^2 在 [0,1][0,1] 上递增，所以：

  • 上界 = ∑i=1n(in)2⋅1n\sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n}
  • 下界 = ∑i=0n−1(in)2⋅1n\sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac{i}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n}

Method 2: Summation Formulae​

核心求和公式​

∑r=1nr=n(n+1)2\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}

∑r=1nr2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

∑r=1nr3=n2(n+1)24\sum_{r=1}^n r^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}

∑r=1n1=n\sum_{r=1}^n 1 = n

偏移索引技巧​

当求和从 r=0r=0 到 r=n−1r=n-1 时：

∑r=0n−1r=(n−1)n2\sum_{r=0}^{n-1} r = \frac{(n-1)n}{2}

∑r=0n−1r2=(n−1)n(2n−1)6\sum_{r=0}^{n-1} r^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}

∑r=0n−1r3=(n−1)2n24\sum_{r=0}^{n-1} r^3 = \frac{(n-1)^2 n^2}{4}

Method 3: Stirling-Type Approximation​

估计 ln⁡N!\ln N!​

核心不等式（ln⁡x\ln x 递增）：

∫1Nln⁡x dx≤∑r=2Nln⁡r≤∫1Nln⁡x dx+ln⁡N\int_1^N \ln x\,dx \le \sum_{r=2}^N \ln r \le \int_1^N \ln x\,dx + \ln N

即：

Nln⁡N−N+1≤ln⁡N!≤Nln⁡N−N+1+ln⁡NN\ln N - N + 1 \le \ln N! \le N\ln N - N + 1 + \ln N

步骤：

  1. 识别 ln⁡N!=∑r=1Nln⁡r=∑r=2Nln⁡r\ln N! = \sum_{r=1}^N \ln r = \sum_{r=2}^N \ln r（因 ln⁡1=0\ln 1 = 0）
  2. 取 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x 在 [1,N][1, N] 上的 Riemann 和
  3. 左端点（递减函数性质）给出上界，右端点给出下界——注意 ln⁡x\ln x 是递增的
  4. 计算 ∫1Nln⁡x dx=Nln⁡N−N+1\int_1^N \ln x\,dx = N\ln N - N + 1
  5. 建立关于 ln⁡N!\ln N! 的双边不等式
精确 Stirling 公式（不需证明，但可验证）

ln⁡N!=Nln⁡N−N+12ln⁡(2πN)+O(1N)\ln N! = N\ln N - N + \frac{1}{2}\ln(2\pi N) + O\left(\frac{1}{N}\right)

Method 4: Riemann Sum to Definite Integral​

核心公式：

lim⁡n→∞1n∑r=1nf(rn)=∫01f(x) dx\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{r=1}^n f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx

更一般地：

lim⁡n→∞b−an∑r=1nf(a+r(b−a)n)=∫abf(x) dx\lim_{n\to\infty} \frac{b-a}{n}\sum_{r=1}^n f\left(a + \frac{r(b-a)}{n}\right) = \int_a^b f(x)\,dx

步骤：

  1. 将求和写成 1n∑f(rn)\frac{1}{n}\sum f(\frac{r}{n}) 的形式
  2. 识别 f(x)f(x) 和区间 [0,1][0,1]
  3. 取极限得到定积分
  4. 计算积分