Riemann Sums — Common Mistakes

Mistake 1: 上下界方向完全混淆

这是 Riemann 和问题中最常见的错误。

递增函数 (f'(x) > 0)

端点	结果
左端点 $(x_{i-1})$	下界（较小）
右端点 $(x_i)$	上界（较大）

递减函数 (f'(x) < 0)

端点	结果
左端点 $(x_{i-1})$	上界（较大）
右端点 $(x_i)$	下界（较小）

记忆技巧

对于递增函数：左小右大（左端点小，右端点大）。 对于递减函数：左大右小（左端点大，右端点小）。

Mistake 2: 求和范围写错

$n$ 等分割，$\Delta x = \frac{1}{n}$，区间 $[0,1]$

正确范围：

• 右端点：$x_i = \frac{i}{n}$，$i = 1,2,\ldots,n$
• 左端点：$x_i = \frac{i-1}{n}$，$i = 1,2,\ldots,n$（即 $0, \frac{1}{n}, \ldots, \frac{n-1}{n}$）

错误：

• 右端点写成 $i=0$ 到 $n-1$
• 左端点写成 $i=1$ 到 $n$

Mistake 3: 求和公式用错

$\sum_{r=1}^n r^2$ 公式

正确：$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

错误：$\frac{n(n+1)}{2}$（这是 $\sum r$ 的公式）

偏移求和

从 $r=0$ 到 $r=n-1$ 的平方和：

正确：$\sum_{r=0}^{n-1} r^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

错误：$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（不是这个）

Mistake 4: $\ln N!$ 与积分关系混淆

$\ln N! = \sum_{r=1}^N \ln r$

对 $f(x) = \ln x$ 在 $[1,N]$ 上：

• 此函数递增
• 左端点：$\sum_{r=1}^{N-1} \ln r$（注意终点是 $N-1$ 不是 $N$）

常见错误：

• 写 $\sum_{r=1}^N \ln r \le \int_1^N \ln x\,dx$（方向反了）
• $\sum_{r=1}^N \ln r$ 作为左端点（实际上多了一项)

Mistake 5: 不等式方向出错

如果将 $f(x_i)$ 求和与积分比较，注意：

• 上界 $\ge$ 积分值
• 下界 $\le$ 积分值

双重检查：$n$ 增大时，上界应递减趋近积分值，下界应递增趋近积分值。

Mistake 6: Stirling 近似中指数与对数的转换

从 $\ln N! \ge N\ln N - N + 1$ 取指数时：

正确： $N! \ge e^{N\ln N - N + 1} = e^{N\ln N} \cdot e^{-N} \cdot e = N^N e^{1-N}$

错误：忘记 $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ 的性质。

Mistake 7: 分割数 $n$ 与 $\Delta x$ 的对应关系

区间 $[a,b]$ 分为 $n$ 等份：

$\Delta x = \frac{b-a}{n}$

错误：$\Delta x = \frac{1}{n}$ 而不考虑区间长度 $b-a$。