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Riemann Sums

考纲要求​

  • 利用矩形法求定积分的上界（Upper Bound）
  • 利用矩形法求定积分的下界（Lower Bound）
  • 利用 Riemann 和近似估计 ln⁡N!\ln N!（Stirling 型近似）
  • 理解等分分割与不等分分割的区别

常见题型​

题型分值频率
上界矩形估计4 marks高频
下界矩形估计4 marks高频
Stirling 型近似（ln⁡N!\ln N!）8 marks中频

核心公式​

Riemann 上界（递增函数 f(x)f(x)，右端点）：

∫abf(x) dx≈∑i=1nf(xi)Δx(上界)\int_a^b f(x)\,dx\approx\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x\quad\text{(上界)}

Riemann 下界（递增函数 f(x)f(x)，左端点）：

∫abf(x) dx≈∑i=0n−1f(xi)Δx(下界)\int_a^b f(x)\,dx\approx\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)\Delta x\quad\text{(下界)}

递减函数则上下界与递增函数相反。

Stirling 近似：

ln⁡N!=∑r=1Nln⁡r≈Nln⁡N−N+12ln⁡(2πN)\ln N!=\sum_{r=1}^N\ln r\approx N\ln N-N+\frac{1}{2}\ln(2\pi N)

利用积分估计 ln⁡N!\ln N!：

\int_1^N \ln x\,dx < \ln N! < \int_1^N \ln x\,dx+\ln N

常见错误​

  1. 上下界方向混淆：递增函数与递减函数的上下界规则相反
  2. 矩形端点选错：左端点与右端点混淆
  3. ln⁡N!\ln N! 与积分关系混淆：误将求和直接等同积分而非估计
  4. 分割数 nn 与求和范围不匹配：分子分母中 nn 的对应关系错误
  5. 不等式方向错误：放缩过程中不等号方向弄反