Parametric Equations — Common Mistakes

Mistake 1: $\frac{d^2y}{dx^2}$ 直接用 $\frac{\ddot{y}}{\ddot{x}}$

最严重、最常见的错误！

错误： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\ddot{y}}{\ddot{x}}$

正确： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$

表达式	正确？
$\frac{dy}{dx} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}}$	✅
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\ddot{y}}{\ddot{x}}$	❌
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\right) / \dot{x}$	✅

错误： $L = \int \sqrt{\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt}}\,dt$

正确： $L = \int \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$

计算 $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$ 时，容易漏项或符号错误。

建议：列出每项的平方，合并同类项。使用 $x = a(t)$ , $y = b(t)$ 的记号辅助。

$\sqrt{\sin^2\frac{t}{2}} = \left|\sin\frac{t}{2}\right|$

在 $t \in [0, 2\pi]$ 时， $\sin\frac{t}{2} \ge 0$ 当 $t/2 \in [0,\pi]$ 即 $t \in [0,2\pi]$ ，但若区间不同需注意符号。

弧长积分是对参数 $t$ 积分，不是对 $x$ 或 $y$ 。

错误： $L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\,dt$

正确： $L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\,dt$

如 $\frac{dy}{dx} = \frac{t^2/(1+t^2)}{2t/(1+t^2)} = \frac{t^2}{2t} = \frac{t}{2}$ ，需约分至最简。

求 $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)$ 时：