Parametric Equations

考纲要求

• 对参数方程求一阶导数 $\frac{dy}{dx}$
• 对参数方程求二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$
• 计算参数曲线的弧长
• 处理涉及参数 $t$ 或 $\theta$ 的曲线问题

常见题型

题型	分值	频率
参数方程求导（$\frac{dy}{dx}$、$\frac{d^2y}{dx^2}$）	3–5 marks	必考
参数曲线的弧长计算	5–6 marks	高频

核心公式

一阶导数：

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$

二阶导数：

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$

弧长公式（参数形式）：

$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$

或简写为：

$L=\int_a^b\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,dt$

常见错误

1. 忘记除以 $\dot{x}$：$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$ 需先对 $t$ 求导再除以 $\dot{x}$
2. 弧长公式遗漏平方：根号内漏掉平方符号
3. 积分限混淆：参数 $t$ 的范围与 $x$、$y$ 的范围混淆
4. $\frac{d^2y}{dx^2}$ 直接对 $t$ 求二阶导：误以为 $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\ddot{y}}{\ddot{x}}$
5. 化简不彻底：根号内表达式未完全平方化简