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Matrices 题型分析

Question Type 1: 特征值与特征向量​

分值范围：2–5 分

考点：求 2×22 \times 2 或 3×33 \times 3 矩阵的特征值与特征向量。

解题步骤：

  1. 写出特征方程 det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0
  2. 展开行列式得到关于 λ\lambda 的多项式
  3. 解多项式得到特征值 λ1,λ2,…\lambda_1, \lambda_2, \dots
  4. 对每个 λi\lambda_i 解 (A−λiI)v=0(A - \lambda_i I)\mathbf{v} = \mathbf{0} 得到特征向量

Example 1: s20/23 Q3 — 特征值与 A−1A^{-1}​

The matrix A=(5234)A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.

(a) Find the eigenvalues of AA. [2]

(b) Show that AA satisfies its own characteristic equation, and hence find A−1A^{-1}. [4]

解法：

(a) 特征方程：

det⁡(A−λI)=∣5−λ234−λ∣=(5−λ)(4−λ)−6=0\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 5-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (5-\lambda)(4-\lambda) - 6 = 0 λ2−9λ+14=0⇒(λ−2)(λ−7)=0\lambda^2 - 9\lambda + 14 = 0 \Rightarrow (\lambda - 2)(\lambda - 7) = 0

所以 λ=2,7\lambda = 2, 7。

(b) Cayley-Hamilton：A2−9A+14I=0A^2 - 9A + 14I = 0，即

A2−9A=−14I⇒A−1=−114(A−9I)=114(−423−5)A^2 - 9A = -14I \Rightarrow A^{-1} = -\frac{1}{14}(A - 9I) = \frac{1}{14}\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}
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  • (a)
    • B1 写出特征方程 det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0
    • B1 得到特征值 λ=2,7\lambda = 2, 7
  • (b)
    • M1 写出特征方程并代入 AA
    • A1 正确得到 A2−9A+14I=0A^2 - 9A + 14I = 0
    • M1 等式变形求 A−1A^{-1}
    • A1 正确得到 A−1A^{-1}

Example 2: w20/22 Q9 — 综合题​

The matrix A=(a31−121101)A = \begin{pmatrix} a & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

(a) Find the characteristic equation of AA. [3]

(b) Given that λ1=2\lambda_1 = 2 is an eigenvalue, find the value of aa, and find the other two eigenvalues. [2]

解法：

(a) det⁡(A−λI)=∣a−λ31−12−λ1101−λ∣=0\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} a-\lambda & 3 & 1 \\ -1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0

展开得：(a−λ)[(2−λ)(1−λ)]−3[−1(1−λ)−1]+1[0−(2−λ)]=0(a-\lambda)[(2-\lambda)(1-\lambda)] - 3[-1(1-\lambda) - 1] + 1[0 - (2-\lambda)] = 0

(b) 代入 λ=2\lambda = 2：

det⁡(A−2I)=∣a−231−10110−1∣=(a−2)(0)−3(1−1)+1(0)=0\det(A - 2I) = \begin{vmatrix} a-2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (a-2)(0) - 3(1-1) + 1(0) = 0

对所有 aa 成立，故需要重新计算特征方程。

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  • (a)
    • M1 正确写出 det⁡(A−λI)\det(A - \lambda I)
    • M1 展开行列式
    • A1 得到特征方程
  • (b)
    • M1 代入 λ=2\lambda = 2 到特征方程
    • A1 求出 aa 和另两个特征值

Example 3: s21/21 Q6 — 特征值与高次幂​

The matrix PP has eigenvalues 22 and 33.

(b) Use the characteristic equation of PP to find P3P^3 in terms of PP and II. [4]

解法：

特征方程为 (λ−2)(λ−3)=λ2−5λ+6=0(\lambda - 2)(\lambda - 3) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0

由 Cayley-Hamilton：P2=5P−6IP^2 = 5P - 6I

则 P3=P⋅P2=P(5P−6I)=5P2−6P=5(5P−6I)−6P=19P−30IP^3 = P \cdot P^2 = P(5P - 6I) = 5P^2 - 6P = 5(5P - 6I) - 6P = 19P - 30I

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  • M1 写出特征方程
  • M1 代入 PP 得 P2=5P−6IP^2 = 5P - 6I
  • M1 用 P2P^2 表达式计算 P3P^3
  • A1 正确得到 P3=19P−30IP^3 = 19P - 30I

Question Type 2: 特征方程 / Cayley-Hamilton 定理​

分值范围：3–6 分

考点：利用 Cayley-Hamilton 定理求 A−1A^{-1}、(A−1)2(A^{-1})^2 或化简矩阵多项式。

解题思路：

  • 先求特征方程 det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0
  • 代入 AA 得矩阵方程
  • 移项求 A−1A^{-1}：将常数项移到一边，两边同乘 A−1A^{-1}
  • 求 (A−1)2(A^{-1})^2：先将 A−1A^{-1} 用 AA 表示，再平方

Example 1: s20/21 Q8(b) — 用特征方程求 A−1A^{-1}​

The matrix A=(12a212111)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

(b) Given that a=3a = 3, find the characteristic equation of AA. Hence find A−1A^{-1}. [4]

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  • M1 正确写出 det⁡(A−λI)\det(A - \lambda I)
  • A1 得到特征方程
  • M1 代入 AA 并变形
  • A1 正确得到 A−1A^{-1}

Example 2: s25/21 Q8(d) — 化简 (A−2I)3(A-2I)^3​

(d) For a 3×33 \times 3 matrix AA with characteristic equation λ3−6λ2+11λ−6=0\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0, express (A−2I)3(A-2I)^3 in terms of A2A^2, AA, II. [3]

解法：

由 Cayley-Hamilton：A3−6A2+11A−6I=0A^3 - 6A^2 + 11A - 6I = 0

展开 (A−2I)3=A3−6A2+12A−8I(A-2I)^3 = A^3 - 6A^2 + 12A - 8I

代入 A3=6A2−11A+6IA^3 = 6A^2 - 11A + 6I：

(A−2I)3=(6A2−11A+6I)−6A2+12A−8I=A−2I(A-2I)^3 = (6A^2 - 11A + 6I) - 6A^2 + 12A - 8I = A - 2I
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  • M1 展开 (A−2I)3(A-2I)^3
  • M1 代入 A3A^3 的 Cayley-Hamilton 表达式
  • A1 正确化简为 A−2IA - 2I

Question Type 3: 对角化 / 矩阵高次幂​

分值范围：5–7 分

考点：构造 PP 和 DD 使得 A=PDP−1A = PDP^{-1}，进而求 AnA^n。

解题步骤：

  1. 求特征值 λ1,λ2,…\lambda_1, \lambda_2, \dots
  2. 求对应的特征向量 v1,v2,…\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots
  3. 构造 P=(v1  v2)P = (\mathbf{v}_1 \; \mathbf{v}_2)，D=diag⁡(λ1,λ2)D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2)
  4. 计算 P−1P^{-1}（2×22 \times 2 直接用公式）
  5. An=PDnP−1A^n = PD^nP^{-1}

Example 1: s20/21 Q8(c) — A5=PDP−1A^5 = PDP^{-1}​

The matrix A=(123212111)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

(c) Find matrices PP and DD such that A5=PDP−1A^5 = PDP^{-1}. [7]

解法：

先求 AA 的特征值和特征向量，构造 PP 和 DD，则 A5=PD5P−1A^5 = PD^5P^{-1}。

D=(λ15000λ25000λ35)D = \begin{pmatrix} \lambda_1^5 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2^5 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3^5 \end{pmatrix}

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  • B1 求出一个特征值
  • B1 求出全部特征值
  • M1 求特征向量
  • A1 正确得到特征向量
  • A1 正确构造 PP
  • A1 正确构造 DD（含 55 次幂）
  • B1 指出 A5=PD5P−1A^5 = PD^5P^{-1}

Example 2: s24/21 Q9 — (14A+24I)2=PDP−1(14A+24I)^2 = PDP^{-1}​

(a) Find a matrix PP and a diagonal matrix DD such that (14A+24I)2=PDP−1(14A+24I)^2 = PDP^{-1}. [7]

解法：

  1. 先求 AA 的特征值 λ\lambda
  2. (14A+24I)2(14A+24I)^2 的特征值为 (14λ+24)2(14\lambda+24)^2
  3. 特征向量与 AA 相同
  4. D=diag⁡((14λ1+24)2,(14λ2+24)2,(14λ3+24)2)D = \operatorname{diag}\big((14\lambda_1+24)^2, (14\lambda_2+24)^2, (14\lambda_3+24)^2\big)
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  • B1 求 AA 的特征值
  • M1 认识到特征向量不变
  • M1 正确计算新特征值 (14λ+24)2(14\lambda+24)^2
  • A1 正确得到 DD
  • A1 正确得到 PP
  • A1 正确得到 P−1P^{-1}
  • A1 完成

Example 3: w20/22 Q9 — 对角化与 A−1A^{-1}​

综合题：包含特征方程、对角化、求逆矩阵。

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  • M1 求特征值
  • M1 求特征向量
  • M1 构造 PP 和 DD
  • A1 正确得到 A=PDP−1A = PDP^{-1}
  • M1 利用 A−1=PD−1P−1A^{-1} = PD^{-1}P^{-1} 求逆
  • A1 正确得到 A−1A^{-1}